Notes sur le mécanique céleste - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur le mécanique céleste - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le mécanique céleste - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: SPHÉRISATION DES CORPS CÉLESTES, APLATISSEMENT DES CORPS CÉLESTES, STABILITÉ DES ATMOSPHÈRES, LIMITE DE ROCHE,
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Cette équation signifie que la théorie newtonienne de la gravitation se résume à dire que le

champ gravitationnel est décrit par un seul potentiel engendré par la densité volumique de

masse et déterminant l'accélération d'une particule d'épreuve plongée dans le champ

extérieur .

Amusons nous maintenant un peu avec l'équation de la gravitation de Newton pour obtenir

quelques résultants intéressants et curieux :

Soit r la distance d'un objet du centre à l'extérieur de la Terre nous avons :

(47.35)

il vient :

(47.36)

à la surface de la Terre de rayon R nous avons:

(47.37)

Des deux dernières relations il vient donc:

(47.38)

En surface nous avons donc (on s'y attendait...) :

(47.39)

Maintenant, à l'intérieur de la Terre en notant la distance par rapport au centre par la lettre r et

la masse centrale par M ', nous avons :

(47.40)

Introduisons la masse volumique que nous supposerons égale partout.

(47.41)

En combinant ces quatre dernières relations nous obtenons :

(47.42)

Pour de nombreuses personnes ce résultat est assez contre intuitif (faites un petit sondage

dans votre entourage vous verrez).

SPHÉRISATION DES CORPS CÉLESTES

A l'aide de la loi de Newton nous pouvons répondre à pas mal de questions pertinentes de

manière approximative et nous donnant des résultats tout à fait probants.

Un premier exemple et de se demander à quelle échelle il y a une transition du domaine des

formes (les astéroïdes, lunes de Mars, comètes, etc.) au domaine des sphères (planètes et

grandes lunes)? Pourquoi les satellites de Mars, Phobos et Deimos, ont une forme patatoïde

tandis que notre lune est à peu près sphérique. Nous allons voir que ceci est dû à la masse qui

est plus important dans le cas de notre lune. Effectivement, à partir d'une certaine masse, les

formes géométriques quelconques ne sont plus possibles.

Pour aborder cette étude nous allons d'abord estimer la hauteur maximale d'une montagne sur

une planète. Le Mont Everest a une altitude de 8.8 [km] tandis que le Mont Olympus sur Mars

est de 27 [km]. Pourquoi de telles montagnes ne peuvent existe sur Terre?

Pour prendre une approche simpliste, nous allons supposer qu'une montagne doit être en

équilibre hydrostatique. Nous connaissons expérimentalement la pression limite type dans un

réseau cristallin de roches au delà de laquelle les roches commencent à "couler"

: .

Nous connaissons de par notre étude la mécanique des milieux continus (cf. chapitre de

Mécanique Des Milieux Continus) que la pression à la base d'une montagne de hauteur h sera

donnée dans l'approximation hydrostatique :

(47.43)

Pour que la montagne soit stable, il faut donc que :

et donc (47.44)

Ainsi :

(47.45)

En supposant une densité moyenne de (croûte continentale de la Terre)

nous obtenons :

- Terre :

- Mars :

Ce qui est remarquable comme résultat approximatif...

Pour estimer la taille minimale d'un astre, à partir de laquelle la forme sphérique devient

prédominante par rapport aux déformations de la surface (c'est-à-dire :où la gravitation a pris

le dessus sur les forces interatomique) , nous allons exiger que la taille soit supérieure à la

hauteur maximale d'une montagne . Nous supposons aussi que la densité reste constante

à travers l'astre. En reprenant la relation :

(47.46)

nous avons :

(47.47)

d'où :

(47.48)

La limite peut ensuite être estimée en fixant ainsi :

(47.49)

bien évidemment pour nous serons encore plus proche de la forme sphérique.

APLATISSEMENT DES CORPS CÉLESTES

A cause de la symétrie du potentiel gravitationnel une étoile ou une planète devrait avoir une

forme parfaitement sphérique à partir d'une certaine taille comme nous venons de le voir. Or, il

n'est pas ainsi.

Dû à la rotation propre de l'astre, un terme centrifuge vient de modifier le potentiel, ce terme

dépend de la latitude ce qi explique la forme ellipsoïdale.

Rappelons que :

(47.50)

où R est le rayon équatorial de l'astre à laquelle vient s'ajouter l'accélération centrifuge à une

latitude donnée de rayon r :

(47.51)

Ainsi l'accélération totale :

(47.52)

explique simplement que la Terre est aplatie aux pôles (ou selon le point de vue : étirée à

l'équateur...) et que plus une planète tourne vide, plus elle sera aplatie aux pôles.

Sur Terre, le rayon équatorial est de 6379 [km] tandis que le rayon polaire est de 6357 [km]. La

différence est de 22 [km]. "L'aplatissement" d'une planète peut être exprimé comme :

(47.53)

soit la différence entre rayon équatorial et le rayon polaire divisé par le rayon équatorial.

Bien qu'un ellipsoïde de révolution soit la meilleure description pour la forme d'une planète :

(47.54)

il y a des imperfections entre le modèle et la réalité pour certains corps du système solaire (en

particulier les planètes telluriques, les satellites, et les petits corps rocheux). Le géopotentiel

d'une planète réelle peut avoir une forme nettement plus compliquée à cause des influences

des inhomogénéités visibles de la surface comme l'atteste cette image satellite de la Terre

omettant les parties liquides (les déformations ont été un peu exagérées sur l'image ci-

dessous) :

(47.55)

Les géodésistes tiennent compte de ces inhomogénéités. Ils mesurent et décrivent la forme des

planètes qu'ils appellent "géoïdes".

STABILITÉ DES ATMOSPHÈRES

En comparant les vitesses de libération et les vitesses de divers gaz, nous pouvons expliquer la

stabilité de certaines atmosphères et l'inexistence d'autres. Nous avons démontré dans le

chapitre de Mécanique Classique que la vitesse de libération d'un astre sphérique était donnée

par la relation suivante (sur laquelle nous reviendrons aussi dans le chapitre de Relativité

Générale):

(47.56)

Pour la Terre, une application numérique donne et pour la

Lune .

Nous pouvons à l'aide des développements effectués dans le chapitre de Mécanique Des Milieux

Continus lors de notre détermination de la température cinétique. Rappelons que nous y avions

démontré la relation suivante :

(47.57)

En utilisant la masse molaire (cf. chapitre de Chimie Thermique) :

(47.58)

Une application numérique donne pour l'azote et pour

l'hydrogène avec une température arbitraire de 300 [°K].

Donc l'azote est nettement piégé dans l'atmosphère terrestre. L'hydrogène, gaz léger, donc

rapide l'est moins. Les deux gaz sont encore moins retenus par la Lune.

Remarque: En fait, la vitesse quadratique moyenne n'est pas la vitesse unique des molécules. Il y

a une distribution des vitesses. Nous avons effectivement vu que la distribution de Maxwell-

Boltzmann d'un gaz à l'équilibre dans le chapitre de Mécanique Statistique.

LIMITE DE ROCHE

La limite de Roche est la distance théorique en dessous de laquelle un satellite commencerait à

se disloquer sous l'action des forces de marée causées par le corps céleste autour duquel il

orbite, ces forces dépassant la cohésion interne du satellite.

Nous pouvons simplifier le problème en considérant le satellite liquide et en le décomposant en

deux petites masses m de rayon r et de masse volumique .

(47.59)

La planète est une sphère de rayon R, de masse M, de masse volumique , située à une

distance D du satellite.

La planète exerce sur le satellite une attraction gravitationnelle :

(47.60)

La différence de force entre les 2 masses est :

(47.61)

Nous pouvons considérer , ce qui donne :

(47.62)

Donc la différence de force est

(47.63)

La force de cohésion du satellite résulte dans l'attraction gravitationnelle entre les 2 masses :

(47.64)

Le satellite est détruit si la différence de force entre les 2 masses est supérieure à la force de

cohésion

(47.65)

Or nous avons les relations :

et (47.66)

donc nous obtenons :

(47.67)

et nous en déduisons la "limite de Roche" :

(47.68)

Comme, dans ce calcul, nous avons considéré un satellite constitué de deux masses

ponctuelles, et que de plus nous avons considéré que la cohésion du satellite était assurée

exclusivement par les interactions gravitationnelles, cette valeur n'est qu'un ordre de grandeur

(un minimum donc!).

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