Notes sur le mécanique céleste , Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur le mécanique céleste , Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes d'astronomie sur le mécanique céleste. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: équation de Drake, LOIS DE KEPLER, PREMIÈRE LOI, DEUXIÈME LOI, TROISIÈME LOI, LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON.
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MÉCANIQUE CÉLESTE

La mécanique céleste est la conséquence de la loi d'attraction universelle de Newton et du

principe fondamental de la mécanique (cf. chapitre de Mécanique Classique), elle a pour

principal objectif la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et

planètes à l'aide des théories physiques et mathématiques.

Nous allons dans ce chapitre aborder le sujet, comme toujours sur ce site, de la manière la plus

élémentaire possible.

D'abord, nous nous échaufferons avec une loi sympathique sur le vivant dans l'Univers...

(l'équation de Drake). Une fois cet exercice de style accompli, nous commencerons à

"énumérer" les lois de Kepler (en faisant souvent référence au chapitre de Mécanique Classique)

pour ensuite étudier en détail les propriétés des orbitales képlériennes à l'aide de la mécanique

et ensuite à l'aide de la relativité restreinte, ce qui nous amènera à constater une précession

théorique des orbitales concernées. Ensuite, nous nous amuserons à modéliser

approximativement la variation de la durée de la journée (et de la nuit) sur la Terre en fonction

du mois et de la latitude. Enfin, pour terminer en beauté, nous nous lancerons dans le calcul

détaillé des cinq points de Lagrange!

équation de Drake

Cette équation a été inventée (...) par F. Drake dans les années 1960 dans l'intention d'estimer

le nombre de civilisations extra-terrestres dans notre galaxie avec qui nous pourrions entrer en

contact. Le principal objet de cette équation pour les scientifiques est de déterminer ses

facteurs, afin de connaître le nombre probable et (très) estimé de civilisations extraterrestres.

Cette équation empirique (qui reste un amusement... et dont le principe peut être appliqué à

pas mal de domaines différents de la physique et de la vie...) s'écrit:

(47.1)

Les termes de cette formule (car s'en est une!) se définissent ainsi:

- représente le nombre d'étoiles dans une seule et unique galaxie

- est le nombre d'étoiles qui auraient une planète en orbite

- est le nombre de planètes par étoile qui remplissent les conditions au développement de

la vie

- est la fraction de planètes dont la vie s'est effectivement développée (compris entre 0 et 1)

- est la fraction de celles ou une vie intelligente s'est développée (compris entre 0 et 1)

- est la fraction qui a mis en oeuvre des moyens de communication radio (compris entre

0 et 1)

- est la fraction de temps pendant laquelle les civilisations vivront (compris entre 0 et 1)

Dans la pratique, il faut remarquer que l'équation consiste à essayer de déterminer une quantité

inconnue à partir d'autres quantités qui sont tout aussi inconnues qu'elles..... Mais c'est une

équation sympa à sortir et à évaluer entre amis pour passer le temps...

Il n'existe donc pas de garantie que l'on soit davantage fixé après cette estimation qu'avant

(argument nommé parfois dans la littérature "garbage in, garbage out"...).

La valeur résultante peut motiver que les développements qui vont suivre ne sont pas

applicables qu'à un seul système solaire dans l'Univers.... peut-être... (cela ferait beaucoup de

vide gâché sinon...).

LOIS DE KEPLER

En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des

planètes autour d'un astre principal, sans les expliquer (à l'époque!). Elles ont été découvertes

par Johannes Kepler à partir des observations et mesures (en quantité phénoménale) de la

position des planètes faites par Tycho Brahé, mesures qui étaient très précises pour l'époque.

Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième en 1618. Les orbites

elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux premières lois, permettent d'expliquer la

complexité du mouvement apparent des planètes.

Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l'attraction gravitationnelle (ou gravitation),

induisant celle-ci, par le calcul, les 3 lois de Kepler.

Nous allons maintenant nous efforcer à présenter ces lois de la manière la plus pertinente

possible :

PREMIÈRE LOI

La "première loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi de conicité" ou encore "loi des orbites"

s'énonce ainsi : Les orbites des planètes sont des coniques (ellipses) dont le Soleil occupe l'un

des foyers.

Au fait, il convient de préciser que ce n'est pas vraiment une "loi" dans le sens propre du terme

puisque plus loin vous en trouverez la démonstration telle que :

(47.2)

Remarque: Le lecteur qui aura lu au préalable le chapitre de Géométrie Analytique ne sera pas

étranger à cette relation...

DEUXIÈME LOI

La "deuxième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des aires", nous dit que le segment qui

joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux (vitesse aréolaire

constante) tel que :

(47.3)

C'est une relation qui découle de la conservation du moment cinétique comme nous l'avons

déjà démontré dans le chapitre de Mécanique Classique. Donc à nouveau, son statut de "loi" est

discutable dans le langage de la physique moderne!

Par ailleurs, rappelons que nous avions aussi obtenu comme résultat que le mouvement est et

reste plan sans aucune action extérieure!

Nous constatons par ailleurs que cette loi nous donne que la vitesse de la planète est variable.

Elle est plus grande au périhélie qu'à l'aphélie :

(47.4)

Ceci se vérifie pour la Terre par exemple. En effet cette dernière est plus proche du Soleil en

hiver (pour l'hémisphère Nord) et elle a alors une vitesse sur trajectoire un peu plus élevée

qu'en été; le temps de parcours est donc plus faible (l'hiver compte moins de jours que les

autres saisons).

TROISIÈME LOI

La "troisième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des périodes", s'énonce ainsi : Les carrés

des périodes de révolution T sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes D des

orbites:

(47.5)

A nouveau, nous verrons plus loin que le statut de "loi" n'est plus justifiable à notre époque

puisqu'il est possible de démontrer cette relation dont l'expression sera détaillée un tout petit

peu plus loin comme étant réellement :

(47.6)

Bien évidemment, Kepler n'a pas d'emblée publié ses trois lois dans cette provocante simplicité.

Leur ordre actuel n'est d'ailleurs pas celui de leur énonciation... Elles sont en réalité à dénicher

au milieu d'un foisonnement de spéculations physiques et de réflexions sur l'harmonie du

monde.

LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON

Pour vérifier l'exactitude de son hypothèse, Newton (relativement longtemps après) retrouva les

lois de Kepler à partir de la loi de la gravitation, donnant ainsi l'explication du mouvement

général des planètes.

Newton considéra pour déterminer la loi de gravitation une planète théorique, gravitant autour

du Soleil sur une orbite circulaire à vitesse constante v. Pendant une orbite complète, la planète

parcourt une distance égale à la circonférence du cercle de rayon R, soit , en un temps (sa

période) égal à cette distance divisée par sa vitesse, soit:

(47.7)

Newton s'appuie ensuite sur la troisième loi de Kepler avec toujours l'hypothèse d'une orbite

circulaire.

Nous avons donc:

(47.8)

mais puisque :

alors (47.9)

en enchaînant :

et (47.10)

Nous posons maintenant que divisé par la constante est une nouvelle constante (que nous

noterons de la même manière que la première bien qu'elle ne lui soit pas égale) tel que :

d'où (47.11)

Ensuite, nous renversons les termes, cette expression devient (tout en notant que l'inverse de la

constante d'origine est elle aussi une constante):

(47.12)

Par un autre calcul nous avons déjà établi dans le chapitre de Mécanique Classique l'expression

de la force centrifuge:

(47.13)

en rapprochant cette expression à l'expression précédente :

(47.14)

nous obtenons :

(47.15)

Il existerait donc une force opposée à la force centrifuge qui maintient la cohésion orbitale et

qui s'écrit:

(47.16)

reste à déterminer la valeur de la constante!

Il est trivial que la masse centrale M du système orbital doit intervenir d'une façon ou d'une

autre dans cette constante. Si la masse du corps secondaire intervient de façon proportionnelle

dans la force centrifuge, l'envie est grande de faire de même avec la masse du corps central.

Donc:

(47.17)

maintenant a priori il n'y aurait plus de paramètres à prendre en compte. La constante restante

est là pour satisfaire à l'analyse dimensionnelle de telle façon que l'on ait des "Newtons" (nom

donné à l'unité de force) des deux côtés de l'égalité. Les scientifiques ont déterminé avec

grande précision cette "constante gravitationnelle" notée G qui a priori semble universelle et qui

a comme valeur :

(47.18)

Ce qui nous amène à écrire la "loi de la gravitation de Newton" :

(47.19)

Evidemment il ne s'agit nullement d'une vraie démonstration car nous nous sommes basés sur

les observations expérimentales de Kepler. Par contre à partir de la relativité générale il est

possible de la démontrer (sous certaines hypothèses...)!

Remarque: En égalisant force centrifuge et force gravitationnelle il est assez facile d'obtenir une

approximation de la vitesse de rotation des planètes sur leur orbite. Le lecteur qui fera le calcul

verra que le chiffre tourne pour les planètes du système solaire une vitesse de l'ordre de 100'000

[km/h]

A partir de cette dernière relation, revenons brièvement sur notre troisième loi de Kepler et

détaillons là un peu pour montrer qu'elle est valable pour tout type d'orbite conique et afin de

déterminer sa l'expression de sa constante.

Exprimée dans le repère de Frenet (cf. chapitre Géométrie Différentielle), et décomposée en son

accélération normale (centripète) et tangentielle, l'accélération par rapport à un référentiel

géocentrique (dans le cas d'un référentiel situé au centre de masse du système l'expression

change un peu) s'écrit :

(47.20)

Des relations obtenues lors des développements précédents :

et (47.21)

la constante de la troisième loi de Kepler prend comme valeur :

(47.22)

Or, puisque :

(47.23)

alors :

(47.24)

d'où :

(47.25)

Finalement la troisième loi de Kepler se retrouve alors fréquemment dans la littérature sous la

forme suivante :

(47.26)

Cet interlude effectué, revenons sur notre loi de la gravitation de Newton :

(47.27)

A partir de cette loi de la gravitation, nous pouvons retrouver toutes les lois de Newton.

D'ailleurs nous l'avons déjà fait pour la deuxième et troisième loi de Newton puisque ce sont

ces dernières que nous avons utilisé pour obtenir cette relation (c'est cependant un peu le

serpent qui se mange la queue...).

Sous forme vectorielle nous avons ainsi :

(47.28)

Identiquement au champ électrique (cf. chapitre d'Électrostatique), nous pouvons développer:

(47.29)

Comme le champ électrique dérive d'un potentiel électrique, identiquement, le champ

gravitationnel dérive lui aussi d'un potentiel gravitationnel. En effectuant le même

développement qu'en électromagnétisme pour la première équation de Maxwell (cf. chapitre

d'Électrodynamique), nous démontrons que:

(47.30)

où est le "potentiel gravitationnel" et qui varie en raison inverse de la distance relative des

corps (ceci confirmant ce que nous avions démontré lors de notre étude du théorème de

Noether dans le chapitre traitant des Principes) et vaut donc :

Remarque: Nous retrouverons souvent ce potentiel dans le chapitre de Relativité Générale. Il

convient donc de s'en souvenir si possible.

Ecriture qui implique bien évidemment la relation suivante:

(47.31)

Remarque: Evidemment en l'absence de champ nous avons et donc sera nul.

Comme en électromagnétisme à nouveau, nous démontrons comme nous l'avons fait pour la

première équation de Maxwell que:

(47.32)

Si nous exprimons cette équation en fonction d'un potentiel gravitationnel (noté aussi

souvent par la lettre Ucomme en Électrostatique...), nous obtenons :

(47.33)

ce que l'on note de façon plus esthétique avec le laplacien scalaire :

(47.34)

qui n'est d'autre que "l'équation de Newton-Poisson" que nous retrouverons aussi lors de notre

étude de la relativité générale (elle y a une place importante pour des raisons de validation de la

théorie d'Einstein)!

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