Notes sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le modèle d'évaluation des actifs financiers, le rendement réalisé, le taux de rendement cer...
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Comme nous l'avons vu, Markowitz (1959) a développé la théorie du choix optimal d'un

portefeuille par un individu sur la base du rendement espéré de la variance. Plus tard (1963) ,

Sharpe élabore une modèle de choix d'actifs basé sur des indices de risques comme les

coefficients bêta.

Sharpe, Lintner et Mossin (1965) ont ensuite étudié les conséquences de ces théories pour

mettre en place une théorie extrêmement simple permettant d'évaluer les coefficients bêta, les

rendements espérés et les variances d'actifs financiers d'un portefeuille à partir de données

statistiques sur le marché global et de la spécificité de la composition d'un portefeuille.

Cette théorie basée encore une fois sur le problème moyenne-variance est appelée "modèle

d'évaluation des actifs financiers" (MEDAF) ou "capital asset pricing model" (C.A.P.M.) est donc

un modèle très souvent utilisé, aussi bien par les praticiens que par les académiciens, pour

évaluer les rendements anticipés d'équilibre sur n'importe quel actif risqué sur le marché.

Pour commencer, rappelons que nous avons vu plus haut lors de notre étude du return que le

taux de rentabilité périodique (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel) d'un actif se calcule

comme suit :

(205)

avec qui est le prix d'un actif à la fin de la période t, le prix d'un actif à la fin de la

période t-1 et finalement le flux monétaire payé par l'actif pendant la période de détention

allant de t-1 à t.

Cette relation sert à calculer le "rendement réalisé" (ex post) d'un titre alors qu'au fait c'est le

"rendement espéré" qui intéresse un investisseur donné.

À la date de la prise de la décision, le rendement que va réaliser l'investisseur en détenant un

actif donné est incertain, c'est pour cette raison qu'on parle de rendement espéré: il s'agit d'un

rendement que l'on cherche à évaluer et qu'on espère recevoir dans la prochaine période

d'investissement.

Pour calculer le rendement espéré, comme nous l'avons déjà vu, il convient d'attribuer à chaque

valeur possible du rendement une probabilité de réalisation, puis de calculer une moyenne

pondérée de ces différentes valeurs possibles en utilisant les probabilités comme

pondérations :

(206)

Or, il est clair que dans une économie donnée, l'investisseur sera tenté de détenir plusieurs

actifs financiers et cherchera donc à composer des portefeuilles. Le rendement (moyen) espéré

d'un portefeuille peut être calculé en utilisant la relation connue :

(207)

avec n qui est le nombre de titres inclus dans le portefeuille, le rendement de

l'actif i inclus dans le portefeuille et la proportion de la richesse totale de l'investisseur

investie dans l'actif i.

Le taux de rendement espéré est cependant insuffisant pour caractériser une opportunité

d'investissement et il faut tenir compte également du risque, c'est à dire de la variabilité du

rendement de cet investissement sur l'actif financier. La variance est comme nous l'avons déjà

vu utilisée comme mesure du risque et donnée pour un actif financier par :

(208)

Soit :

(209)

Le calcul du risque d'un portefeuille fait donc intervenir deux concepts importants: la variabilité

du rendement de chacun des actifs, mesurée par les variances de ces derniers, ainsi que les

relations existantes entre les différents actifs composant le portefeuille.

La dépendance entre deux actifs est souvent mesurée, comme nous en avons déjà fait mention

lors de notre étude des return, par la covariance ou encore le coefficient de corrélation linéaire.

La covariance entre deux actifs i et j se calcule comme suit :

(210)

Soit comme nous le savons si les probabilités sont équiprobables :

(211)

La covariance entre les rendements de deux titres peut être positive ou négative et sa valeur n'a

aucune signification économique comme nous le savons (cf. chapitre de Statistiques).

Remarque: Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques que lorsque les

rendements (valeurs) de deux actifs (variables aléatoires) varient dans le même sens (dans le sens

contraire) la covariance sera positive (négative).

Le coefficient de corrélation entre deux actifs i et j quant à lui se calcule comme suit (cf.

chapitre de Statistiques):

(212)

Une fois les variances et covariances des différents actifs calculés, nous serons en mesure de

calculer la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs. Cette variance est donnée

par la relation suivante (cf. chapitre de Statistiques) :

(213)

ou écrit autrement :

(214)

La relation ci-dessus de la variance de rendement d'un portefeuille montre clairement que

même dans le cas où les rendements des différents actifs détenus dans le portefeuille sont

totalement non corrélés, la variance de ce dernier peut encore être réduite en ajoutant plus

d'actifs.

Pour comprendre ceci, nous noterons que pour n actifs non corrélés, la variance se réduit à

(puisque la covariance est alors nulle):

(215)

En simplifiant davantage, si toutes les variances sont supposées égales et si tous les actifs sont

détenus dans les mêmes proportions (1/n), nous avons (cf. chapitre de Statistiques) :

(216)

Ainsi, quand n tend vers l'infini, la variance du portefeuille s'approche de zéro. Ainsi, si des

risques non corrélés sont réunis en portefeuille, le risque total peut être éliminé par

diversification. Dans le cas où les risques sont corrélés, la diversification ne permettra

d'éliminer que les risques spécifiques aux actifs alors que le risque de marché continuera

d'exister. Notons que la réduction du risque serait plus importante lorsque les différents actifs

détenus sont négativement corrélés. En effet, plus le coefficient de corrélation entre les

rendements des titres est petit, plus les bénéfices inhérents à la diversification sont

substantiels. Dans le cas ou le coefficient de corrélation est égal à 1, il n'y a aucun bénéfice lié à

la diversification, puisque le risque du portefeuille sera égal à la moyenne pondérée des risques

le composant. Par contre la diversification est à son maximum lorsque le coefficient de

corrélation est égal à -1. Dans cette situation il est possible de combiner deux actifs risqués

pour former un portefeuille sans risque.

D'après ce qui précède, il est clair que tout investisseur désirant former un portefeuille

cherchera à détenir un ensemble d'actifs risqués qui lui permettra de recevoir un rendement

donné avec un minimum de risque. En d'autres termes, il cherchera à minimiser la variance

pour un niveau de rendement espéré tout en respectant une contrainte budgétaire. Nous savons

que le rendement espéré et la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs

risqués s'écrivent comme suit :

(217)

Par ailleurs, nous savons qu'à partir de ces n titres, il possible de construire une infinité de

portefeuille en faisant varier les pondérations Xi. Or, les portefeuilles les plus intéressants pour

un investisseur donné sont ceux qui permettent de minimiser le risque qu'il doit supporter pour

obtenir un niveau de rendement donné. Ces portefeuilles sont le résultat du problème de

minimisation suivant qui est un problème d'optimisation non linéaire (cf. chapitre de Méthodes

Numériques) :

(218)

que nous avions déjà vu lors de notre étude du modèle de Markowitz.

Il est donc possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant varier les proportions

investies dans chacun des titres. La prochaine étape consiste à sélectionner, parmi l'ensemble

des portefeuilles disponibles, un portefeuille donné. Pour ce faire, on doit considérer les

préférences individuelles de l'investisseur.

Un investisseur rationnel ne devrait donc considérer que les portefeuilles se trouvant sur la

frontière efficiente pour ses choix d'investissement. Son portefeuille optimal se situera donc au

point de tangence entre la frontière efficiente et sa courbe d'indifférence la plus haute qu'il

serait capable d'atteindre. En procédant ainsi, chaque investisseur maximisera son utilité

espérée. En présence d'une économie ne contenant que des actifs risqués, la composition du

portefeuille d'actifs risqués varie d'un individu à un autre.

En pratique, les investisseurs ont également la possibilité d'investir dans des actifs financiers

sans risques. Nous allons donc chercher à déterminer la nouvelle frontière efficiente en tenant

compte de cette nouvelle opportunité d'investissement.

Considérons alors un portefeuille qui est une combinaison de l'actif sans risque et d'un

portefeuille de marché (à risque). Nous avons alors :

(219)

où est la fraction du portefeuille investie dans le portefeuille du marché (m) et est le

"taux de rendement certain".

Rappel : L'espérance d'une constante est égale à cette constante (cf. chapitre de Statistiques).

Nous avons donc :

(220)

et donc (en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques) :

(221)

Soit :

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