Notes sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle d'évaluation des actifs financiers - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la pente de la "capital market line", le coefficient appelé "Sharpe ratio", la "security mar...
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(222)

La dérivée du rendement espéré par rapport à nous donne :

(223)

La dérivée de l'écart-type par rapport à nous donne :

(224)

Mettant ces deux résultats ensemble, nous avons :

(225)

Cette équation nous donne la pente de la "capital market line" (C.M.L.). Elle est constante (la

pente!), et donc la C.M.L. est une droite. L'ordonnée à l'origine est évidemment .

Puisque :

(226)

L'équation de la C.M.L. se réduit alors à :

(227)

Et puisque dans la finance l'intérêt est de représenter graphiquement .

(228)

Alors il est de tradition de noter la fonction sous la forme suivante :

où nous retrouvons en facteur de l'écart-type de le coefficient appelé "Sharpe ratio" (ou

ratio de Sharpe) dont nous avions parlé plus haut mais sans en démontrer la provenance.

Par construction, cette droite associe donc à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la

plus élevé. Ainsi, étant donnée le rendement d'un actif sans risque il devient facile à partir de

cette équation de déterminer le point de tangence avec la frontière d'efficience de Markowitz ou

de Sharpe pour obtenir le portefeuille le plus efficient sur la base du rendement sans risque!!

Intéressons nous maintenant à déterminer une équation pour le rendement espéré de n'importe

quel actif individuel.

Considérons un nouveau portefeuille de rendement qui est une combinaison d'un actif sans

risque quelconque A et du portefeuille de marché, où est la fraction du portefeuille investie

dans l'actif sans risque A.

Ce que nous souhaiterions évaluer est le pente de la courbe des combinaisons

espérance/écart-type lorsque nous combinons le portefeuille de marché (qui contient déjà

l'actif A) avec l'actif A.

Nous souhaitons évaluer la valeur de la pente de l'équation tangente à la frontière efficiente

telle que la pondération de l'actif sans risque A soit nulle.

Nous avons :

(229)

Nous obtenons de suite :

(230)

et (cf. chapitre de Statistiques) :

(231)

donc :

(232)

Dérivant le rendement espéré de ce nouveau portefeuille par rapport à , nous obtenons :

(233)

Dérivant l'écart-type du rendement de ce nouveau portefeuille par rapport à , nous

obtenons :

(234)

La contribution de Sharpe et Lintner a été de dire qu'il faut évaluer ces dérivées au point

où c'est-à-dire où la pondération de l'actif A dans le nouveau portefeuille est nulle.

Ce faisant, nous obtenons, l'expression suivante pour l'écart-type du nouveau portefeuille (bien

sûr, l'expression pour le rendement espéré ne change pas) :

(235)

ce qui donne après simplification :

(236)

Avec les deux dérivées, nous pouvons obtenir une expression pour la courbe de combinaisons

de combinaisons espérance/écart-type pour le nouveau portefeuille. Nous avons alors :

(237)

Cette pente doit être égale à celle de la C.M.L. En égalisant, nous obtenons :

(238)

Quelques manipulations algébriques et nous y sommes! Nous avons :

(239)

et donc :

(240)

d'où :

(241)

En posant ce que nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Sharpe, c'est-à-dire le

risque non diversifiable sous forme de facteur bêta :

(242)

c'est donc la volatilité de la rentabilité de l'actif considérée rapportée à celle du marché.

Nous avons alors :

(243)

Cette expression permet donc d'exprimer le rendement excédentaire d'un actif comme le

produit du rendement excédentaire du portefeuille de marché et le facteur bêta du titre.

Le rendement excédentaire d'un actif ne dépend pas directement que de sa variance, qui est

souvent une mesure intuitive du risque d'un actif. Ce qui compte est sont facteur bêta, qui

dépend de sa covariance avec le portefeuille de marché.

Plus classiquement, la dernière relation est utilisée graphiquement sous forme de droite :

(244)

Cette droite est appelée la "security market line" (S.M.L.) elle est extrêmement importante en

finance car elle donne donc le rendement moyen d'un titre A en fonction du bêta, du rendement

du marché et du taux sans risque.

On la trouve aussi fréquemment sous la forme suivante :

(245)

avec qui est appelé la "prime par unité de risque" (surplus de rentabilité exigé par les

investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marchée plutôt que dans un actif

sans risque) et l'ordonnée à l'origine est le taux d'intérêt sans risque (généralement des

emprunts d'état).

Le MEDAF stipule donc que le taux de rendement espéré (ou que devrait exiger un investisseur

rationnel averse au risque) d'un actif risqué doit être égal au taux de rendement de l'actif sans

risque, plus une prime de risque. Dans ce cas, la relation entre le risque systématique et le

rendement espéré demeure linéaire et seul le risque systématique doit être rémunéré par le

marché puisque le risque spécifique peut être éliminé grâce à la diversification.

Il est peut-être intéressant d'expliciter les hypothèses sur lesquelles reposent

mathématiquement les développements que nous avons fait. Ce sont donc les hypothèses du

MEDAF dont un certain nombre d'hypothèses dont certaines semblent difficilement acceptables.

Il ne faut pas cependant oublier que la validité d'un modèle ne dépend pas du réalisme de ses

hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité.

Nous avons donc émis les hypothèses suivantes :

H1. Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de

l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers

H2. Les investisseurs sont averses au risque: ils n'aiment pas le risque

H3. Il n'y a pas de coût de transaction et les actifs sont parfaitement divisibles

H4. Ni les dividendes, ni les gains en capitaux ne sont taxés

H5. De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne

peut avoir d'influence sur les prix.

H6. Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux

sans risque.

H7. Les anticipations des différents investisseurs sont homogènes

H8. La période d'investissement est la même pour tous les investisseurs

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