Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les théories de Black, Scholes et Merton, l'équation de parité call-put, l'hypothès...
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C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés doit son succès,

grâce à l'équation de Black & Scholes conçue dans les années 1970 (et publiée en 1973) qui

permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doit payer un client pour acquérir un

Call ou un Put et la stratégie que devra suivre le vendeur de ces options pour se couvrir du

risque (pour ne citer que l'exemple le plus connu). Evidemment ce modèle ne fonctionne que si

les périodes temporelles considérées sont relativement courtes (de l'ordre de la semaine ou de

quelques mois aux mieux). Au delà l'utilisation de ce modèle théorique particulier est une farce!

Black, Scholes et Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués,

donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows,

Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. Ce modèle est aussi

considéré ceci dit comme un des facteurs principaux du crasch boursier de 1987 par certains

spécialistes...

Ce que nous aimerions dans ce qui va suivre, est de déterminer la valeur théorique de la prime

d'une option à partir des cinq données suivantes :

1. La valeur actuelle de l'actif financier sous-jacent de l'option (déterminée par la spéculation

du marché).

2. Le temps qui reste à l'option avant son échéance (choisie par la société émettrice).

3. Le prix d'exercice (strike) fixé par l'émetteur subjectivement ou après modélisation.

4. Le taux d'intérêt sans risque (supposé comme étant le taux de rendement attendu du sous-

jacent).

5. La volatilité (écart-type) du prix du sous-jacent de l'option (mesurée sur le marché).

La prime l'option ainsi déterminé sera unique et équitable pour les deux parties. Effectivement,

le système des options permettrait de faire payer un prix d'option (prime) majoré par rapport au

comportement aux prévisions du marché et donc de générer à coup sûr et à partir de rien un

profit mais les nombreux acteurs du marché vont faire jouer la concurrence pour être au plus

juste et attirer le client sur leurs options plutôt que sur celles de la concurrence.

La modélisation du cours des options (Black & Scholes) repose sur l'utilisation du calcul

différentiel stochastique. Ainsi, l'approche de Black et Scholes suppose que l'évolution du cours

de l'action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements

possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener

généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

ÉQUATION DE PARITÉ CALL-PUT

Avant de nous attaquer a des calculs stochastiques un peu ardus il est utile d'établir au

préalable une équation dite de "parité Call-Put" qui nous servira de sorte d'équation de

conservation pour vérifier la validité des résultats que nous établirons par la suite sur

l'évaluation des prix des options.

L'objectif va être de répondre à la question suivante :

Quelle somme M devons nous payer maintenant pour recevoir une somme garantie E appelée

"prix d'exercice" (ou "strike price") à un temps futur T ?

Ainsi, nous avons vu lors de notre étude du calcul d'intérêts qu'en considérant un capital C et

un intérêt r constant nous avions trivialement :

(246)

Dès lors, en posant et nous avons :

(247)

d'où :

(248)

Mais cette relation n'est pas tout à fait juste. Effectivement, nous devons avoir M = E assuré au

temps T - t . Dès lors nous somme naturellement amenés à poser :

(249)

Nous allons maintenant supposer que le Call et le Put possèdent les caractéristiques suivantes :

1. Même support qui vaut S à l'instant t.

2. Même échéance T

3. Même prix d'exercice E

Dès lors, étant donnée C le prix d'un Call et P le prix d'un Put à même échéance T et à même

valeur et S un titre, nous avons alors pour la valeur du portefeuille :

(250)

Cette relation ainsi que les précédentes supposent les hypothèses suivantes :

1. Il n'existe pas de coûts de transaction

2. Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement)

3. Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e. entre

[0;T] ).

4. Les options sont européennes

En nous posant maintenant la question :

Quelle somme devons nous payer maintenant pour un portefeuille afin de recevoir une somme

garantie E (prix d'exercice) à un temps futur T ?

Le portefeuille pouvant être considérée comme une boîte noire, rien ne nous empêche dès lors

d'écrire :

(251)

qui n'est rien d'autre que "l'équation de parité Call-Put".

Cette relation montre que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice E et maturité T peut

être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice E et la même maturité T.

HypothÈsE efficiente du marchÉ

Le modèle de Black & Scholes se base sur le postulat que le marché est "efficient".

Définition: Un "marché efficient" (efficient market hypothesis en anglais... - abrégée E.M.H) est

un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché

est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux.

Nous pouvons distinguer trois types de marchés efficients qui sont fonction du type

d'information disponible:

1. L'hypothèse de marché efficient en "forme faible" qui explicite que les prix reflètent toute

l'information contenue dans la série historique des prix

2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute

l'information publique disponible.

3. L'hypothèse de marché efficient en "forme forte" qui établit que toute l'information connue,

publique et privée, est reflétée dans les prix du marché.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour

tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles (voir plus loin)

en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y

reviendrons). Plus spécifiquement ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix

sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est

rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient

aider à anticiper les prix futur des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché

efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse

d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelle information; l'évidence en faveur d'un

rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de

l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de profiter sur la base d'information

privilégiée (information accessible à un petit groupe des agents économiques). Etant donné

qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte

considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient

avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance

des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience.

Ceci implique les hypothèses suivantes (pour résumer en gros) :

H1. L'histoire passée du cours de l'option est complétement réfléchie dans le prix présent qui

ne contient lui pas d'autres informations sur l'option

H2. Le marché réponde immédiatement à toute nouvelle information sur le prix d'une option.

Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait

vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés,

leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficient dépendent

d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils

peuvent faire mieux que le marché !

Ce postulat est source de beaucoup de débats dans le domaine...

Remarque: Avec les deux hypothèses précédement énononcées, tout changement non-anticipé

dans le prix de l'option est appelé un "processus de Markov".

Rappel : Un processus de Markov est un processus dont l'évolution future ne dépend de son

passé qu'à travers son état à l'instant. Or, le cours d'une action n'est vraisemblablement pas un

processus de Markov (la "mémoire" du processus est probablement plus longue - par exemple

une tendance saisonnière).

PROCESSUS DE WIENER

Soit la variation de la valeur d'une option (ou autre actif financier volatile) sur un petit

intervalle de temps noté .

Nous posons que (dans le sens que la variation de l'option est similaire à la variation de la

valeur du sous-jacent!):

(252)

et avec à l'aide de la connaissance des deux résultats majeurs du modèle de Bachelier vu plus

haut nous avons donc pour les variations de la valeur de l'option une espérance positive

dépendante de manière proportionnelle à la racine carrée du temps selon:

(253)

où nous posons comme hypothèse (acceptable... car nous travaillons sur de petites variations

pour rappel!) que le coefficient d'instabilité est une fonction:

(254)

où rappelons-le, N(0,1) est la notation de la loi Normale centrée réduite telle que nous l'avons

établie dans le chapitre de Statistiques.

Remarque: Souvent dans le domaine de l'économie, nous notons WN au lieu de N en hommage à

Wiener.

Ceci dit, la relation antéprécédente est souvent notée de manière généralisée:

(255)

et définie comme étant un "mouvement brownien standard" avec "bruit blanc" (loi marginale de

type Normale), ou "mouvement brownien arithémtique", où le W est là par hommage à Wiener! Il

est intéressant de remarquer que le mouvement brownien est supposé indéfiniment divisible

(ce qui signifie que la période temporelle prise n'influe pas sur la loi de probabilité qui reste

toujours la même... c'est une propriété fractale du mouvement brownien qui a été creusée par

Mandelbrot aussi!).

Il est possible de produire un graphique de ce mouvement brownien dans MS Excel avec dans la

colonne A le temps avec un pas typique de 0.01 [s] et dans la cellule B2 la formule suivante:

=B1+NORMSINV(RAND())*SQRT(0.01)

où B1 contient la valeur 0.

Nous obtenons alors pour 4 colonnes du même type les variations de valeurs suivantes:

(256)

Les mouvements browniens standards ont certaines propriétés remarquables comme nous

pouvons le voir: la trajectoire à tendance à alterner au-dessus et en dessous de l'axe des

abscisses. Cela provient de ce que la loi Normale considérée est d'espérance nulle, autrement

dit qu'il n'y pas de tendance générale à la hausse ou à la baisse des variations (pour le vérifier

faites au moins 30'000 points dans MS Excel et vous verrez....).

Il est facilement possible de caractériser à l'aide de son espérance :

(257)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

(258)

donc nous pouvions nous attendre à ce résultat d'absence totale de tendance générale (c'était

quasi-intuitif!).

Nous pouvons également caractériser à l'aide de sa variance :

(259)

d'où :

(260)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

(261)

Finalement (au fait ce résultat découle de manière immédiate de la propriété de linéarité de la

loi Normale):

(262)

Donc pour résumer un peu les choses...

1. Nous savions avec le modèle de Bachelier que l'espérance positive et l'écart-type positif de la

valeur sont proportionnelles à la racine carrée du temps. Nous avons utilisé ces deux résultats

ici.

2. Nous savons maintenant (sous l'hypothèse bien précise d'une coefficient de type Normal) que

les variations ont un espérance (tendance) nulle et un écart-type proportionnel à racine carrée

de la variation temporelle

La propriété qui vient d'être établie reste valable pour un grand intervalle de temps

noté T correspondant àn petits intervalles !!! En d'autres termes :

(263)

Dans ce contexte, il convient de remplacer par:

(264)

Or :

(265)

Comme dans l'hypothèse d'une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est

possible de caractériser à l'aide de son espérance et de son écart type :

(266)

ce qui est logique...

Nous retrouvons alors, pour un grand intervalle de temps T :

(267)

que nous pouvons aussi écrire sous la forme suivant en utilisant les propriétés de la loi

Normale:

(268)

résultat auquel nous pouvions raisonnablement nous attendre avec les hypothèses

susmentionnées...

Ce dernier résultat est écrit sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

(269)

et nous voyons que c'est peu réaliste car cela signifierait que tout actif financier suit la même

loi (quelque soit sa volatilité....) et n'aurait aucune tendance générale à la baisse ou à la hausse.

Nous verrons de suite comment améliorer cette approche.

Pour clore cette approche, remarquons que si tend vers 0 (ce qui revient à considérer une

subdivision du temps T en intervalles extrêmement petits) le cours subit sur la période T un

nombre infiniment grand de variations. En d'autres termes, le processue d'évolution du cours

de l'option est continu, ce qui conduit à remplacer par dt, par dx et par dz.

Dans ce cas, nous obtenons :

(270)

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi

l'équation différentielle stochastique).

Mais évidemment ceci n'est pas vraiment conforme à la réalité comme nous l'avons déjà

mentionné... Nous préférons alors ajouter un décalage constant dans le temps ce qui donne le

mouvement brownien que nous allons voir maintenant.

MOUVEMENT BROWNIEN généralisé

Dans ce cas (généralisation un peu plus réaliste), l'évolution du cours dépend non seulement

d'un processus aléatoire brownien standard (deuxième terme ci-dessous à droite de l'égalité),

mais également d'un paramètre de tendance centrale, ou "drift" (premier terme ci-dessous à

droite de l'égalité):

(271)

avec toujours :

(272)

et :

(273)

Nous avons donc un mouvement brownien généralisé, constituté d'un mouvement brownien

standard (dzreprésenté donc par une loi normale d'espérance nulle et de variance dt comme

nous l'avons vu plus haut) et d'un drift. Dans ce scénario, a et b sont imposés comme constants

contrairement au cas encore plus général que nous verrons un peu plus loin.

La relation antéprécédente est souvent représentée dans la littérature sous la forme

différentielle suivante:

(274)

Donc graphiquement cela donne, en rajoutant ce drift et en prenant une valeur positive et non

nulle pour a, un mouvement brownien qui aura tendance à alterner au-dessus et en dessous du

drift:

(275)

Sur un petit intervalle de temps , le processus, en temps discret s'écrit bien évidemment :

(276)

Dans ce cas, nous avons :

(277)

dans la mesure où seule a une composante aléatoire.

Ainsi :

(278)

Finalement :

(279)

En subdivisant une période T en n intervalles de temps (soit ), la variation du

cours devient sur cette période T :

(280)

Dès lors :

(281)

Finalement :

(282)

Soit:

(283)

ou encore :

(284)

Il est alors aisé de comprendre pourquoi nous disons que la loi de Gauss régit la variable

aléatoire obtenue en arrêtant un processus brownien à un instant donné: c'est une photo

instantanée du mouvement brownien simple ou généralisé!

En choisissant:

(285)

Nous avons alors la relation antéprécédente qui s'écrit traditionnelement sous la forme explicite

suivante dans les tableurs:

(286)

où est le rendement en % de l'actif financier et la volatilité du rendement en %.

Il est alors intéressant pour le financier de créer un graphique qui représente l'espérance en

fonction de T et la valeur x(T) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5%

sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de

son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans MS Excel et on tombe typiquement en jouant avec

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