Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 3° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 3° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)

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Notes de gestion sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: tableau, 'évolution de portefeuilles, l'équation de Black&Sholes, l'équation différ...
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(334)

et pour l'intervalle de confiance à 95%:

(335)

Il est intéressant de comparer l'évolution de portefeuilles ayant les mêmes paramètres (volatilité

et rendement) sur la même période de temps. Cela donne alors graphiquement:

(336)

Donc dans 6 mois, nous voyons que le portefeuille à 95% de probabilité cumulée de se situer

entre 404.49 et 885.90 millions avec une espérance de 662.54 millions.

Enfin, le lecteur remarquera que l'on peut généraliser l'écriture des deux mouvements

browniens (en prenant le logarithme népérien en ce qui concerna le mouvement brownien

géométrique) en les écrivant sous une forme proposée par Mandelbrot en 1962:

(337)

où et c sont respectivement les paramètres de localisation (rentabilité moyenne) et de

dispersion (volatilité non gaussienne) du processus, et où désigne le mouvement -stable

standard de Lévy.

Le problème avec ce modèle c'est la perte de l'existence, pour certaines lois de probabilité qui

marchent très bien, du deuxième moment (la variance) si important en termes de

communication et d'images pour les professionnels dans les années 1970 car il leur servait

d'unique mesure du risque. L'absence de variance finie constitua vraisemblablement l'une des

causes les plus puissantes du rejet.

ÉQUATION DE BLACK & SCHOLES

Nous avons obtenu lors des développements précédents, sous la contrainte d'une loi log-

normale et d'un mouvement brownien, l'équation différentielle suivante pour la marche

aléatoire de la valeur de l'action :

(338)

Soit avec les bonnes notations:

(339)

Si nous construisons maintenant un portefeuille consistant en une option et un nombre de

titres sous-tendants (souvent aussi noté dans la littérature). La valeur du portefeuille est

alors exprimée par :

(340)

Le différentiel temporel du portefeuille s'écrit alors :

(341)

Vous remarquerez que nous supposons constant (et négatif) le nombre durant le différentiel

de temps.

En réunissant les relations précédentes et (nous adoptons ici la notation traditionnelle usitée

dans le domaine de l'économétrie où) l'équation de l'actif risqué donné donc par:

(342)

nous obtenons:

(343)

où nous avons dans le crochet tout à droite le mouvement brownien géométrique.

Ce qui donne après réarrangement des termes l'équation différentielle du portefeuille:

(344)

Considérons maintenant que est lié par la relation de dépendance spéculative (dont nous

prenons la valeur entière) qui élimine de la relation précédente la partie risquée du portefeuille

(c'est le dz qui génère le risque de manière aléoitre pour rappel!):

(345)

Nous pouvons alors écrire :

(346)

Or, nous avons également pour l'actif sans risque :

(347)

noté parfois aussi dans littérature:

(348)

En substituant maintenant les quatre relations :

(349)

dans :

(350)

Nous obtenons :

(351)

qui n'est d'autre que "l'équation différentielle partielle (sans second membre) de Black &

Scholes".

Le lecteur aura noté que le paramètre (dérivation) est absent de cette équation! En d'autres

termes, la valeur d'une option est indépendante de la vitesse de variation des valeurs des titres

sous-jacents. Le seul paramètre qui affecte le prix de l'option est la volatilité de l'option

sous-jacente. Une conséquence de cela est que deux personnes ayant des opinions divergentes

quand à la valeur de sont toujours en entente sur la valeur de l'option.

L'objectif bien évidemment est de résoudre cette équattion différentielle afin de déterminer le

return F(S,t). Celle-ci ne se laisse par ailleurs pas résoudre en deux lignes.

Avant de nous attaquer à cette tâche quelques définitions et indications pratiques préalables

concernant certains paramètres sont utiles et nécessaires (nous déterminerons leur forme

explicite après la résolution de l'équation différentielle):

PORTEFEUILLE AUTOFINANCANT SUR SOUS-JACENT RISQUÉ

Une stratégie de portefeuille autofinançante est une stratégie dynamique d'achat ou de vente de

titres et de prêts ou d'emprunts à la banque, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le

retrait de cash (nous aurions pu introduire ce sujet dès le début du chapitre mais nous avons

jugé plus opportun de ne le faire que maintenant).

Nous supposerons ici pour l'exemple que nous ne pouvons investir que dans un seul titre

(placement risqué), et dans du cash (placement supposé non risqué), c'est-à-dire en plaçant ou

empruntant de l'argent à une banque.

Nous désignons par le prix à la date t du titre, par le taux d'intérêt pour un placement

entre à la banque.

Soit la valeur de marché, ou encore valeur liquidative, ou encore "Mark to Market" (M.t.M.) du

portefeuille à la date t. Après renégociation, le nombre d'actions du portefeuille est constant

jusqu'à la prochaine date de gestion. Pour simplifier, nous supposons pour le moment que le

gestionnaire ne prend en compte dans sa règle de décision la valeur du cours du sous-jacent

qu'au moment de renégocier.

Dans un temps très court, la variation de valeur du portefeuille n'est due qu'à la variation de la

valeur du sous-jacent et à l'intérêt versé par la banque sur le cash, soit, puisque le montant

investi dans le cash est :

(352)

nous avons "l'équation d'autofinancement":

(353)

Ainsi, pour un vendeur de Call (par exemple...), il s'agit de trouver le coût initial et la

stratégie qui permettent d'obtenir (les financiers parlent de "réaliser l'actif financier"):

(354)

dans tous les scénarios de marché. S'il existe une telle stratégie de couverture, nous disons

alors que nous avons affaire à un "marché complet".

LES GRECS ET AUTRES...

Définitions:

D1. Le "delta" d'une option, qu'il est important de comprendre (ou de savoir), donnée par :

(355)

et représente le taux de changement de la valeur des options du portefeuille dépendamment

des valeurs des titres sous-jacents S (mathématiquement parlant c'est donc la dérivée première

de la prime de l'option sur le prix du sous-jacent). Ce terme est fondamental dans la théorie et

dans la pratique et nous en ferons fréquemment usage. C'est donc une mesure dans la

corrélation entre le mouvement de l'option ou autres actifs financiers et dérivés et les sous-

jacents.

Considérons par exemple qu'un Call sur l'action ABC est de delta 0.25 avec un cours du support

(spot) à 90.- et une prime à 5.-. Lorsque le cours de l'action ABC passe de 90.- à 91.-, la prime

de l'option va augmenter alors de 1 delta, et devient alors 5.25.-. Lorsque le cours de l'action

ABC passe de 90.- à 88.-, la prime de l'option va diminuer de 2 fois delta, et devient 4.50.-.

Cette variation et termes de delta (nombre entier) est alors notée .

Le delta est donc paramètre le plus important pour un praticien qui veut se couvrir contre le

risque. Effectivement, afin d'obtenir le delta global d'une position, il suffit de multiplier la valeur

du delta de chaque option par sa position. Puis on fait la somme de tous ces deltas.

Par exemple, si nous sommes vendeur de 5 calls C1 et acheteur de 7 Call C2 alors notre delta

global sera égal à :

(356)

La valeur de ce paramètre nous informe sur la quantité de sous-jacent à acheter ou vendre afin

d'immuniser la valorisation de notre portefeuille aux variations du cours de ce sous-jacent.

Nous disons alors qu'il s'agit d'une "stratégie en delta-neutre".

Ainsi, les gestionnaires vont entre la date à laquelle ils ont encaissé la prime (en ayant vendu un

contrat d'option) et sa maturité T tout naturellement gérer en delta-neutre au fil du temps un

portefeuille autofinancé constituté de actifs sous-jacents S à chaque instant t, afin de

disposer de façon certaine (donc sans risque) de la cible stochastique à la maturité. Nous

parlons aussi de "portefeuille de couverture".

D2. Le "thêta" d'une option donne la sensibilité du prix de l'option par rapport à sa maturité et

est donné par:

(357)

Appliqué à notre portefeuille, le thêta nous donne la valeur perdue ou gagnée suite à

l'écoulement d'une journée par exemple.

D3. Le "rhô" calcule la sensibilité du prix de l'option par rapport au taux d'intérêt et est donné

par:

(358)

Cet indicateur semble être assez peu utilisé par les professionnels.

D4. Le "véga", représenté par la lettre nu minuscule car le nom véga n'est pas lui-même un nom

de lettre grecque, mesure la sensibilité de l'option par rapport à la volatilité et est donné par:

(359)

La volatilité est le paramètre déterminant du prix d'une option. L'impact de la variation de ce

paramètre sur la valorisation de notre portefeuille est donc très important pour les trader sur

options.

D5. Le "gamma" correspond à la dérivée du delta et est donc donné par:

(360)

Une lecture possible du gamma est le sens d'évolution du delta en fonction du prix du sous-

jacent. Un gamma positif indique que prix du sous-jacent et delta évoluent dans le même sens,

alors qu'un gamma négatif montre le contraire.

D5. "L'opérateur différentiel linéaire de Black & Scholes" donné par :

(361)

aurait une interprétation financière comme mesure de la différence entre le retour d'une option

(les deux premiers termes) et l'ensemble d'un portefeuille contenant cette option (les deux

derniers termes). Dans le cas d'une option européenne, nous aurions dès lors que la différence

des couples de ces termes doit être nulle tel que :

(362)

Je ne suis pas tout à fait convaincu mais si un spécialiste qui lirait ces lignes pourrait

m'expliquer qu'il me contacte via la page ad hoc du site.

Bref, ceci étant dit, nous pouvons donc avoir l'écriture technique suivante de l'E.D.P. de Black &

Scholes:

(363)

RÉSOLUTION DE L'E.D.P. DE BLACK & SCHOLES

Avant de nous attaquer à la résolution de l'équation B.S. donnons déjà les solutions avec un

rappel des termes (cela permettra d'avoir une idée préalable des concepts utilisés lors des

développements et de plus je ne risque pas d'écrire ceux-ci avant quelques années faute de

temps...) :

Soient F(S,t) la valeur d'une option Call C(S,t) ou Put P(S,t), la volatilité du sous-jacent, E le

prix d'exercice (strike), T la date d'expiration et r l'intérêt

- Pour le Call européen (valeur de l'option d'achat de maturité T et de strike K) la solution (dont

la démonstration doit encore être rédigée dans ce chapitre...) est :

(364)

où N(x) est donc la loi Normale centrée réduite :

(365)

avec :

(366)

et :

(367)

La distribution normale cumulée de ce paramètre représente la probabilité que l'option soit

exercée dans un univers risque-neutre. Multiplié par E, la valeur normale cumulée du paramètre

précédent représente donc en quelque sorte l'espérance, en univers risque-neutre, de paiement

du prix d'exercice. L'exponentielle se trouvant dans l'expression de C(S,t) est la facteur

d'actualisation.

- Pour le Put européen (valeur de l'option de vente de maturité T et strike K) :

(368)

Dès lors, le "delta du Call" que nous avions déjà introduit plus haut est donné dans ce modèle

par l'expression exacte :

(369)

et le "delta du Put" par :

(370)

et il est facile de vérifier que ces solutions satisfont l'équation de parité Put-Call :

(371)

et voici les commandes intégrées à MS Excel pour faire le calcul :

(

372)

Remarque: Il est sûr que les équations de Black & Scholes ont permis l'essor des marchés aux

options, en permettant une spéculation sécurisée. Cela reste de la spéculation (les acteurs

spéculent les uns par rapport aux autres sur la volatilité des actions), mais cette spéculation reste

sécurisée par l'équation de couverture, qui évite que les pertes ne soient trop importantes. Il

existe néanmoins des inconvénients à leur utilisation. Le plus important est sûrement l'effet

d'emballement qu'elles provoquent. Supposons par exemple que vous êtes le vendeur d'une

option sur l'action d'une société S. Celle-ci annonce des résultats légèrement inférieurs à ceux

attendus. Son cours baisse, et c'est normal. L'équation de couverture de Black & Scholes vous

recommande alors de diminuer le nombre d'actions de cette société dans votre portefeuille, ce

que vous faites. Mais tous les acteurs du marché font le même raisonnement, engendrant une

nouvelle baisse du cours de l'action. L'équation de couverture de Black and Scholes vous

recommande de vendre encore des actions, etc.... Cela peut déclencher un véritable emballement

du marché, à la baisse comme à la hausse. Ceci est accentué par le fait que bien souvent, les

ordres d'achat ou de vente sont automatisés, implémentés directement dans les logiciels, et ne

nécessitent plus d'interventions humaines. D'autre part, l'équation de couverture de Black &

Scholes est efficace pour de petites variations de cours, mais pas pour des "dévissages" brutaux

et importants. Ainsi, un an à peine après avoir reçu leur prix Nobel d'Économie, Robert Merton

et Myron Scholes furent impliqués dans la déconfiture du fonds d'investissement américain

LTCM à l'automne 1998, à la suite de la grave crise russe de l'été 1998.

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