Notes sur le modèle de Bohr - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle de Bohr - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le modèle de Bohr - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les postulats de Bohr,la quantification,le modèle des atomes hydrogenoïdes sans entrainement.
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En 1913 Niels Bohr, qui a participé aux travaux de Rutherford sur la diffusion des particules

(noyaux de 2 protons, 2 neutrons libres d'électrons), reprend le modèle de Rutherford mais y

inclut 3 postulats fondamentaux:

POSTULATS DE BOHR

P1. L'électron n'émet pas de rayonnement lorsqu'il se trouve sur certaines orbites dites "orbites

stationnaires". Cette affirmation est contraire aux théories de l'électrodynamique. Donc ceci

implique que toutes les orbites ne sont pas autorisées et constitue une véritable révolution

dans l'approche de la physique.

P2. Sur toute orbite stable la quantité de mouvement p intégrée sur le chemin r est un multiple

entier de la constante de Planck h (postulat découlant du premier) tel que selon la

quantification des échanges d'énergie étables par la relation de Planck. Ce postulat est parfois

appelé "hypothèse quantique de Planck".

P3. La relation expérimentale (loi) de Planck :

(41.11)

est valable pour l'émission ou l'absorption d'une radiation lors de la transition d'un électron

d'un état énergétique ver un état (postulat qui solidifie le premier postulat).

Au fait, nous trouvons ici un concept révolutionnaire et indémontrable (aujourd'hui et à notre

connaissance) qui consiste à quantifier certaines propriétés de la physique.

Continuons donc notre analyse :

QUANTIFICATION

Soit M la masse du noyau central de charge électrique +e et m la masse de l'électron en

"orbite". Nous faisons l'hypothèse que et que la masse centrale est immobile (ce qui

est évidemment faux dans la réalité).

Nous assimilons le mouvement circulaire de l'électron autour du noyau à celui d'un oscillateur

harmonique (masse reliée à un ressort exerçant une force opposée proportionnelle à une

constante de rappel afin de retenir l'objet lié).

Si l'oscillation a lieu dans un plan, son équation différentielle est (cf. chapitre de Mécanique

Calssique) :

(41.12)

Une solution (particulière) de cette équation (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est :

(41.13)

L'énergie cinétique du système étant donnée dès lors par:

(41.14)

et l'énergie potentielle du système par (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

(41.15)

Si nous notons v la fréquence d'oscillation du mouvement oscillatoire nous avons a bien

évidemment (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

(41.16)

L'énergie totale du système s'écrit finalement après sommation et simplification (trigonométrie

élémentaire):

(41.17)

Nous admettons maintenant que l'électron lié ne peut occuper que certains niveaux d'énergie

(premier postulat) selon la loi de Planck :

(41.18)

Ce qui nous donne lorsque nous incluons la loi de Planck dans l'avant dernière relation:

(41.19)

Nous remarquons ici que puisque l'énergie de l'électron est quantifiée l'amplitude de son

mouvement l'est également.

Soit à présent l'intégrale de chemin suivante (attention la notation ambiguë entre la fréquence

et la vitesse peut porter à confusion) dite également "intégrale d'action" (il s'agit au fait du

moment cinétique) :

(41.20)

et compte tenu de l'expression de la vitesse obtenue auparavant:

(41.21)

Sur une période de révolution nous avons :

(41.22)

Etant donné que (cf. chapitre de Trigonométrie):

(41.23)

L'intégration devient:

(41.24)

comme (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) nous avons :

(41.25)

Nous obtenons donc finalement:

(41.26)

Compte tenu que et ainsi que :

(41.27)

Finalement:

(41.28)

Cette condition imposée par Bohr (2ème postulat) résulte de la quantification des échanges

d'énergie (loi de Planck). Ce qui a pour conséquence d'imposer des niveaux stationnaires

d'énergie que l'électron peut occuper autour du noyau.

Pour une orbite circulaire (rappelez-vous bien que nous considérons pour l'instant une orbite

circulaire !) de rayonr le moment cinétique (oui l'intégrale d'action n'est au fait que le moment

cinétique) sur la longueur de l'orbitale est donc:

(41.29)

où bien en utilisant la notation traditionnelle du moment cinétique:

(41.30)

Le moment cinétique est donc quantifié !

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES SANS ENTRAINEMENT

Nous entendons par l'étude des "atomes d'hydrogénoïdes sans entraînement" lorsque nous

considérons des atomes avec un unique électron de masse m en rotation autour d'un noyau

central de charge et de masseM tel que (donc le noyau est supposé fixe).

Calculons les rayons des orbites stationnaires:

Sur son orbite stationnaire, l'électron est en équilibre car il y a un antagonisme exact entre la

force coulombienne et la force centrifuge. Ceci doit se traduire par l'égalité des forces suivante :

(41.31)

Nous posons à partir de maintenant (afin d'alléger l'écriture) que :

(41.32)

Ce qui nous permet d'écrire la relation :

(41.33)

En recourant à la condition de quantification de Bohr et en élevant au carré:

(41.34)

En divisant les deux dernières relations l'une par l'autre:

(41.35)

nous obtenons :

(41.36)

compte tenu de l'expression de k.

Le rayon des orbites autorisées pour l'électron est donc :

(41.37)

avec et cette relation est communément appelée le "rayon de Bohr" pour .

Les orbites d'un atome selon ce modèle ressemblent donc à :

(41.38)

L'énergie de l'atome hydrogénoïde sans entraînement est donnée par la mécanique classique

(cas d'une force centrale), somme de l'énergie cinétique et potentielle électrostatique :

(41.39)

Avec :

(41.40)

il vient :

(41.41)

En y introduisant l'expression du rayon quantifié obtenu précédemment:

(41.42)

Nous trouvons donc que l'énergie totale de l'atome considéré est quantifiée et négative (ce qui

correspond à des états stables car il faut un apport de l'énergie pour les defaire) telle que:

(41.43)

Entre deux niveaux, le passage d'un électron du niveau vers un niveau (nous préciserons

comment lors de l'étude de l'effet photoélectrique plus loin) se traduit par l'émission d'une raie

de fréquence donnée par l'expression de l'hypothèse de quantification de Planck :

(41.44)

En fait, si nous admettons avec Bohr que les énergies d'un électron sur son orbite sont données

par l'inverse du carré du nombre entier , la différence d'énergie entre deux orbites caractérisées

par de grande valeurs de ces nombres entier tend vers zéro lorsque les nombres entiers

tendent vers l'infini. Nous retrouvons alors un semblant de variation continue pour les énergies

échangées par un atome avec le champ électromagnétique et la notion de trajectoire d'un

électron prend alors à nouveau du sens.

En faisant appel à l'expression complète de l'énergie totale, nous trouvons alors la fréquence

correspondante à la raie émise:

(41.45)

la longueur d'onde émise s'en déduit aisément :

(41.46)

La constante (notée aussi selon les situations) est appelée la "constante de Rydberg".

Un électron qui occupe une orbite n est dans un "état stationnaire" si son énergie ne varie pas.

En revanche, une transition directe s'accompagne de l'émission d'un photon

dont l'énergie est donnée par le calcul de la fréquence comme nous allons le démontrer.

"L'énergie d'ionisation" est l'énergie qu'il faut fournir pour éloigner l'électron à l'infini de son

orbite. Ainsi pour l'état fondamental de l'hydrogène, il faudrait poser et .

Le résultat obtenu par Bohr pour l'expression de la fréquence en fonction des niveaux d'énergie

de l'électron et est un résultat formidable car le chimiste Bâlois Balmer avait en 1885 (28 ans

auparavant) découvert expérimentalement que le spectre des raies de l'hydrogène suivait aussi

cette loi.

Balmer avait remarqué que les raies spectrales étaient extrêmement fines. Cela laissait

supposer que l'énergie n'était pas émise par les atomes d'une manière continue mais seulement

à certaines fréquences bien précises. En outre, cette finesse des raies explique la précision avec

laquelle il avait pu déterminer la constante de Rydberg.

Les chimistes avaient également constaté que chaque élément atomique possédait son propre

spectre. Il était dès lors clair que toute théorie atomique devrait rendre compte de ces 2

caractéristiques et c'est ce que fit brillamment le modèle de Bohr à l'aide des postulats des

niveaux d'énergies.

Nous définissons les séries suivantes du spectre de l'atome d'hydrogène :

- Pour la série avec et on obtient le résultat des mesures effectuées (le

spectre) par Lymann en 1906 dans l'UV.

- Pour la série avec et on obtient le résultat des mesures effectuées (le

spectre) par Balmer en 1885 dans le visible.

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