Notes sur le modèle de Bohr - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle de Bohr - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le modèle de Bohr - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le modèle des atomes hydrogenoïdes avec entraînement, lhypothèse du neutron.
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- Pour la série avec et on obtient le résultat des mesures effectuées (le

spectre) par Paschen en 1908 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec et on obtient le résultat des mesures effectuées (le

spectre) par Brackett en 1928 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec et on obtient le résultat des mesures effectuées (le

spectre) par Pfund en 1924 dans l'infrarouge.

(41.47)

Les quatre raies principales de la "série de Balmer" (visible) sont les plus connues:

(41.48)

Cependant une petite différence subsistait entre la constante de Rydberg théorique et pratique

(connue avec très grande précision). Ceci va conduire à complexifier le modèle :

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES AVEC ENTRAÎNEMENT Le noyau de l'atome possède une masse M que nous avons supposée immobile par

simplification. En réalité l'ensemble noyau (M) et électron (m) tourne autour d'un centre de

masse commun (évidemment!).

Hypothèses:

H1. L'atome hydrogénoïde est considéré comme un système isolé.

H2. Le noyau et l'électron gravitent chacun sur une orbite circulaire autour d'un centre commun

: le "centre de masse" (cf. chapitre de Mécanique Classique).

H3. Ils ont même vitesse angulaire.

L'atome hydrogénoïde étant un système isolé, le mouvement du centre de masse est soit en

mouvement rectiligne et uniforme soit au repos. Il est donc licite d'y placer un système de

repère inertiel.

(41.49)

La définition du centre de masse dans un système de laboratoire est donnée par le théorème du

centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique):

(41.50)

L'étude présente sera effectuée par rapport au centre de masse, la relation précédente devient

donc:

(41.51)

De la relation précédente, en prenant la norme et la valeur absolue il vient que:

(41.52)

La distance entre le noyau et l'électron demeurant constante et égalant nous

écrivons :

(41.53)

Nous en déduisons trivialement que:

et (41.54)

En appliquant la loi de la dynamique, nous écrivons que la somme des forces sollicitantes

(électrostatique et centrifuge) de l'électron (uniquement) s'équilibrent tel que:

(41.55)

Que nous pouvons écrire en isolant :

(41.56)

Nous retrouvons l'expression de la masse réduite bien connue dans un système à deux corps :

(41.57)

Attaquons-nous maintenant à la détermination de l'énergie totale de l'atome:

L'énergie cinétique de l'atome est la somme des énergies cinétiques du noyau (N) et de

l'électron (e) tel que:

(41.58)

Comme avec comme hypothèse que la pulsation est identique pour le noyau et

l'électron:

(41.59)

Avec les relations des différents rayons déterminées précédemment :

(41.60)

et connaissant l'expression de la pulsation:

(41.61)

Par ailleurs, de l'avant dernier développement nous tirons une relation dont nous allons faire

usage plus loin :

(41.62)

L'énergie potentielle de l'électron par rapport au centre de masse étant donnée par (cf. chapitre

d'Électrostatique):

(41.63)

L'énergie totale de l'atome hydrogénoïde est alors :

(41.64)

Par rapport au centre de masse, le moment cinétique total est la somme des moments

cinétiques de l'électron et du noyau (rappelons que le moment cinétique est aussi

souvent noté par la lettre L).

(41.65)

La parenthèse de la dernière égalité a déjà fait l'objet d'un calcul précédemment et nous avons

donc:

(41.66)

c'est ici que Bohr introduit sa condition de quantification :

(41.67)

or, nous connaissons l'expression détaillée de la pulsation :

(41.68)

Le rayon quantifié a donc pour expression :

(41.69)

L'énergie totale de l'atome devient finalement :

(41.70)

Soit de manière condensée :

(41.71)

A partir de cette dernière relation, nous pouvons déterminer facilement l'expression (comment

nous l'avons déjà fait) des longueurs d'ondes émises par une désexcitation de l'électron d'un

orbite à .

Remarque: Il convient bien évidemment de rendre compte que ce modèle est plus précis que le

précédent.

HYPOTHÈSE DU NEUTRON

Les résultats de spectroscopie sont connus avec très grande précision, par conséquent les

constantes de Rydberg également (car dépendante de la masse de l'élément atomique étudié).

Les deux raies bleues mesurées de la série de Balmer de l'hydrogène noté H (

composé d'un proton et d'un électron) et du deutérium D (isotope de

l'hydrogène composé d'un neutron en plus) présentent une différence de longueur d'onde

de Angström.

La longueur d'onde appartenant à la série de Balmer s'exprime dès lors (avec la correction du

centre de masse vue précédemment) comme:

(41.72)

Cette dernière expression écrite successivement pour l'hydrogène et le deutérium mène à:

et (41.73)

Nous rappelons que la masse de l'électron nous est connue. Ce qui est intéressant c'est que

deux éléments ont des propriétés chimiques identiques mais des raies différentes. Les

scientifiques de l'époque se demandaient pourquoi et ayant (que) le modèle de Bohr à leur

disposition ils ont pu conclure que cette différence dans les raies venait d'après les deux

dernières relations de la différence de la masse du noyau de l'atome après avoir élaboré le

modèle avec entraînement de l'atome hydrogénoïde.

Encore fallait-il déterminer cette différence de masse et expliquer sa provenance!

Nous avons donc:

(41.74)

ce qui montra aux scientifiques de l'époque que le noyau de deutérium est formé de 2

particules de masse équivalente à celle du proton. Donc par déduction logique, ce noyau se doit

d'être composé d'un proton (ce que l'on sait évidemment!) et d'une particule neutre.

Cette hypothèse et celle du "neutron", qui fut découvert ultérieurement de manière

expérimentale en 1932 par Chadwick.

D'ailleurs vous pouvez vérifier dans votre table des isotopes (si vous en avez une...) que la

différence de masse atomique (notion que nous verrons lors de notre étude de la physique

nucléaire) est de 0.5001 !!!

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