Notes sur le modèle de diversification efficiente de MARKOWITZ - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur le modèle de diversification efficiente de MARKOWITZ - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le modèle de diversification efficiente de MARKOWITZ - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan de Markowitz.
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Microsoft Word - MODÈLE de diversification efficiente de MARKOWITZ

(129)

Ce qui équivaut dans MS Excel à écrire :

=SOMMEPROD(PRODUITMAT(B14:D14;G14:I16);B14:D14)

Soit sous forme matricielle explicite :

(130)

Donc en se basant sur les tableaux précédents, il est simple dans MS Excel d'obtenir la matrice de covariance :

(131)

Soit sous forme détaillée dans MS Excel toujours :

(132)

Rappel : La matrice des covariances est symétrique... (cf. chapitre de Statistiques).

Et pour l'espérance et la variance du portefeuille nous aurons donc le tableau suivant :

(133)

en appliquant donc les relations susmentionnées:

(134)

Le problème maintenant est de déterminer pour un rendement du portefeuille fixé (B19), les proportions des différents titres qui minimisent le risque.

Après avoir ajouté les deux cellules B24 (rendement espéré/attendu du portefeuille) et B25 (nombre total des parts du portefeuille) :

(135)

Nous devons donc maintenant résoudre le problème d'optimisation non linéaire :

(136)

et ceci ne peut que se faire (simplement) à l'aide du solveur :

(137)

Ce que nous allons faire à l'aide du solveur est de chercher et reporter les solutions pour des rendements de 0.2 à 0.245 par pas de 0.05. A chaque résultat, nous noterons le numéro de

l'itération, la variance du portefeuille et l'espérance de rendement qui était exigée. Cela devrait donner (bon il faudrait automatiser dans l'idéal la procédure par du VBA) :

(138)

Ce qui donne la frontière efficiente de Markowitz suivante sous forme graphique, appelé "plan de Markowitz", dans MS Excel :

(139)

Maintenant il est aisé avec MS Excel de déterminer l'équation de cette parabole en utilisant l'outil d'interpolation (nous sommes obligés dans MS Excel de tourner la parabole pour cela...) :

(140)

Maintenant, nous allons déterminer la C.M.L (voir le modèle du modèle des actifs financiers plus bas) qui est la droite formée par l'ensemble des portefeuilles composés de l'actif sans risque,

d'une part, et du portefeuille de marché, d'autre part. Par construction, elle associe à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevé.

Nous allons pour déterminer cette droite avec MS Excel nous fixer dans un premier temps un

taux de rendement sans risque que nous noterons et que nous prendrons arbitrairement comme valant 0.22. Nous avons donc la courbe de Markowitz d'équation :

(141)

et la droite :

(142)

avec la condition (voir sur le graphe):

(143)

Nous avons alors deux équations à deux inconnues pour résoudre ce problème (l'intersection de la droite et la parabole pour la première et l'égalité de la pente de la parabole et de la droite au point d'intersection) :

(144)

La deuxième équation nous donne :

(145)

Injecté dans la première équation :

(146)

Si nous résolvons ce polynôme du deuxième degré nous avons deux solutions réelles (MS Excel n'arrive pas à déterminer les racines de ce polynôme mais pour Maple c'est très simple) :

(147)

La solution 2 est à éliminer (nous le savons en essayant de la prendre comme solution). Nous avons donc:

(148)

Ce qui donne sous forme graphique :

(149)

Soit sous forme traditionnelle :

(150)

Il vient aussi immédiatement :

(151)

Ainsi, en réutilisant le solveur comme plus haut mais avec cette nouvelle valeur pour l'espérance, nous obtenons pour un portefeuille du marché composé d'un actif sans risque de rendement 0.22, un rendement global efficient de 0.2314276... avec la composition suivante du portefeuille donnée par le solveur :

(152)

Voilà donc un sympathique petit exemple applicatif dans un logiciel accessible à presque tout le monde!

 

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