Notes sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'utilisation du modèle de Markowitz, 2 problèmes, le modèle à un indice, 3 sortes de r...
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L'utilisation du modèle de Markowitz, tel qu'il le proposait dans son ouvrage de 1959, soulevait

de nombreux problèmes dès qu'il s'agissait d'utiliser des algorithmes à partir d'une liste de

base comportant un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes étaient de deux ordres:

1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque une calculateur de grande capacité et un temps

de calcul assez long!

2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice

des covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des

estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout

cohérentes.

Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de

l'application, il faut de toute évidence trouver le moyens d'alléger notablement la procédure

tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode.

En 1963, William Sharpe a proposé une solution dont la caractéristique essentielle consiste à

faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur

commune relation avec un facteur de base sous-jacent (indice boursier typiquement) qui

permet de déterminer un coefficient appelé le "bêta" (corrélation entre le rendement d'un titre

et celui du portefeuille de marché).

Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" (ou "modèle unifactoriel",

"modèle monofactoriel") a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été,

comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation

des prix des actifs financiers dans un univers incertain.

Remarque: Encore une fois, les développements qui vont suivre pourraient s'avérer abstraits

mais... nous verrons comment appliquer l'exemple précédent fait avec MS Excel pour le modèle

de Markowitz mais appliqué avec le modèle de Sharpe et nous pourrons ainsi même comparer

visuellement les deux méthodes.

Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir

le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au

seul risque de marché (ou "risque systématique") donné par un nombre appelé "coefficient

bêta".

Les investisseurs et gestionnaires distinguent trois sortes de risques:

1. Le "risque spécifique" relatif (implicite) au titre lui-même (sa variance) appelé aussi "risque

non systématique" ou "risque idiosyncratique".

2. Le "risque systématique/non diversiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large

(variance du portefeuille de référence du marché).

3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux (c'est un peu plus subtil qu'un

simple somme...).

Comme vous l'aurez probablement deviné, le facteur risque est difficilement quantifiable.

L'élément qui aidera à le déterminer est la variation du rendement de l'actif financier par

rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un actif financier dont le

cours fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque

élevé.

Définition (simpliste): Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un

portefeuille ou d'un actif financier et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente

d'une droite appelée "security characteristic line" (S.C.L.) :

(153)

ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est

éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé

"volatilité relative".

(154)

Remarque: L'indice de référence est choisi de la manière la plus pertinente possible avec ce que

cela implique... Si possible lorsque le rendement de l'indice est nul, la variation de la valeur du

portefeuille ou de l'actif devrait aussi être nulle.

Une simple analyse du graphique (c'est de l'analyse fonctionnelle élémentaire) montre donc

qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre/actif donné signifie qu'une augmentation

(respectivement : diminution) de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine

période se traduira par une augmentation (respectivement : diminution) de 10 % en moyenne du

rendement de ce titre. Donc la volatilité de l'actif est égale à celle de l'indice.

Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile (ou

plutôt, était volatile, puisque ce coefficient se réfère généralement à une période passée) que

celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant

un bêta de 1.15 est de 15% plus volatil que l'indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de

0.70 est 30% moins volatile que l'indice.

Donc pour résumer :

1. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul !

2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché est à la baisse, le titre sera susceptible de

baisser moins que le marché.

3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché est à la hausse, le titre sera susceptible de

suivre moins rapidement la tendance à la hausse.

Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a pour

objectif donc de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient.

Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêta pondérés

respectifs de chacun des titres ou bêta sous-jacents qui le composent tel que:

(155)

avec étant le bêta du portefeuille global, Xi la proportion du titre i dans le

portefeuille P, le bêta du titre i et n le nombre d'actifs financiers présents dans le

portefeuille.

Sharpe donc que le rendement Ri de chaque actif i à un instant t est donné par la régression

linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) security characteristic line vue plus haut :

(156)

où :

- I est donc le rendement d'un indice économique donné (indice boursier, indice du produit

national brut, indice des prix ou voir même rendement le rendement du portefeuille du marché

lui-même...) au temps t et est la variable expliquée de la régression (selon la terminologie

utilisée dans le chapitre de Méthodes Numériques) considérée comme une variable aléatoire.

- sont des estimateurs non biaisés (cf. chapitre de Statistiques) des paramètres propres à

cette valeur. Le premier terme appelée en finance "coefficient alpha" est simplement l'ordonnée

à l'origine de la régression (le rendement de l'actif lorsque le rendement de l'indice de référence

est nul soit lorsque le marché à un rendement nul) et le deuxième paramètre est pour rappel

simplement le bêta du portefeuille risqué i.

- une variable aléatoire supposée caractérisée par une espérance nulle, une variance égale à

une constante et les différents sont supposés non corrélés entre eux (covariance nulle).

Quant au niveau de l'indice I, il sera caratérisé par la relation (afin de simplifier les

développements plus tard) :

(157)

où est un paramètre non biaisé supplémentaire pour caractériser l'indice I et une

variable aléatoire caractérisée par une espérance nulle et une variance égale à une constante

Pour résumer les points principaux, le modèle de régression linéaire simple des rendements

des actifs financiers est basé sur les hypothèses majeures suivantes :

H1. Le modèle de rendement s'écrit de manière générale :

(158)

en supposant que nous n'avons pas fait d'erreur sur la forme linéaire du modèle, ni sur la liste

des régresseurs.

H2. Nous supposons que la perturbation de la régression est d'espérance nulle telle que

(hypothèses sous-jacente d'un effet brownien!):

(159)

ce qui constitue ceci dit une hypothèse simplificatrice dangereuse mais pratique pour être

utilisable (et compréhensible) épar les praticiens de la finance...

H3. Pour n'importe quel échantillon de taille n, nous utilisons les estimateurs de maximum de

vraisemblance (cf. chapitre de Statistiques) pour l'espérance et variance des rendements des

actifs financiers du portefeuille de référence :

(160)

Ces hypothèses posées, nous utilisons aussi les résultats obtenus dans le chapitre de Méthodes

Numériques sur la régression linéaire pour obtenir le bêta. Nous y avons démontré qu'il existait

plusieurs manières de faire une régression linéaire donc une consiste à utiliser la covariance et

l'espérance. En adoptant les notations de l'économétrie, la pente de la régression peut alors

s'écrire :

(161)

ce qui donne la définition rigoureuse du coefficient bêta selon le modèle de Sharpe où Ri est le

rendement de l'actif financier et RI le rendement du marché (ou du portefeuille du

marché/référence).

Définition (rigoureuse): Le "coefficient bêta" est donné par le rapport de la covariance des

rendements et indices des actifs avec l'écart-type de l'indice du marché du portefeuille.

Maintenant, en considérant la même hypothèse que dans le modèle de Markowitz, le

rendement d'un portefeuille est défini à nouveau assez logiquement par :

(162)

Si les rendements ne sont pas explicitement connus dans les pratique, nous utilisons alors le

modèle linéaire :

(163)

Dès lors en utilisant les propriétés de l'espérance :

(16

4)

Posons pour simplifier l'écriture que :

(165)

Dans ce cas, comme par hypothèse :

(166)

Finalement:

(167)

Si les rendements sont explicitement données et donc connus l'espérance se calculera avec :

(168)

Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance (le

risque) il nous reste à déterminer cette dernière. Etant donnée que maintenant supposons

explicitement connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du

portefeuille (indice) du marché nous avons :

Hypothèse : Si l'indice I est correctement choisi, lorsque nous devons avoir ce qui

implique (c'est une hypothèse forte qui amène à avoir une approximation!).

Ainsi :

(169)

Finalement :

(170)

Ce qui donnerait donc pour un portefeuille comportant deux titres :

(171)

Nous pouvons condenser la notation de la variance en utilisant les notations matricielles en

notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur colonne des poids des actifs

du portefeuille par :

(172)

et en en définissant la matrice des bêta :

(173)

Ce qui nous donne finalement :

(174)

Ce qui donne pour un portefeuille de deux titres :

(175)

Nous retrouvons donc bien la même chose que la forme algébrique.

Si nous ne connaissons pas explicitement les rendements, l'étude de la variance est un peu plus

délicate. Il faut alors utiliser le modèle linéaire tel que :

(176)

En outre, notons:

(177)

De plus nous savons que:

(178)

Dès lors:

(179)

car .

Finalement :

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