Notes sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle de diversification efficiente de sharpe - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction économique Z, La résolution du système, Exemple, exercice.
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(180)

Dans ce contexte le problème revient toujours à maximiser la fonction économique Z :

(181)

simplement que maintenant elle s'écrit :

(182)

Le calcul de chacune des dérivées partielles donne alors :

(183)

soit sous forme matricielle :

(184)

La résolution de ce système passe alors par l'inversion d'une matrice plus simple que celle du

modèle de Markovitz mais nécessite cependant des d'hypothèses relativement contraignantes.

Pour finir, signalons que les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement modéré

par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé

par le rapport entre le rendement (pour être plus exact il s'agit de son espérance) différentiel du

rendement d'un placement (actif) sans risque et le rendement du marché (appelé le

"benchmark") et la déviation standard du placement sans risque (nous déterminerons

rigoureusement l'origine de cette relation plus loin lors de notre étude du MEDAF):

(185)

Relation qui exprime donc le niveau de rendement pur par unité de volatilité (ou par unité de

risque). Pour simplifier, c'est un indicateur de la rentabilité (marginale) obtenue par unité de

risque pris dans cette gestion. Il permet de répondre à la question suivante : le gestionnaire

parvient-il à obtenir un rendement supérieur au référentiel, mais avec davantage de risque?

- Si le ratio est négatif, le portefeuille a moins performé que le référentiel et la situation est très

mauvaise.

- Si le ratio est compris entre 0 et 0.5, le sur-rendement du portefeuille considéré par rapport

au référentiel se fait pour une prise de risque trop élévée. Ou, le risque pris est trop élevé pour

le rendement obtenu.

- Si le ratio est supérieur à 0.5, le rendement du portefeuille sur-performe le référentiel pour

une prise de risque ad hoc. Autrement dit, la sur-performance ne se fait pas au prix d'un risque

trop élevé.

Ce qui donne en développant :

(186)

Signalons également un autre indicateur courant qui est le "tracking error" et défini comme

étant l'écart-type de l'écart de performance entre le portefeuille et le benchmark. Plus le trackin

error est faible, plus le fond ressemble à son indice de référence en terme de risque:

(187)

Ces modèles sont relativement complexes. Raison pour laquelle quelques années plus tard,

Sharpe et Lintner ont créé un nouveau modèle qui leur à valu le prix Nobel d'économie et que

nous allons étudier de suite après un exemple pratique de ce que nous venons de voir.

Exemple:

Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales et les n observations

de leur rendement saisis dans MS Excel. Ces rendements seront comparés à un indice de

référence I qui sera le rendement d'un portefeuille de marché de référence :

(188)

Le but est de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille avec le modèle de Sharpe.

En détail sous forme graphique voici d'abord les bêtas (rendement de l'actif en fonction du

rendement du portefeuille de marché/indice de référence) obtenus avec MS Excel :

(189)

et le tableau de construction suivant pour le calcul des bêta, la variance et l'espérance du

portefeuille du marché et des différents titres :

(190)

Voici les détails du calcul (remarquez que les bêtas sont obtenus à l'aide d'une simple

régression linéaire avec l'indice de référence qui est le portefeuille et les autres paramètres avec

les estimateurs non biaisés) :

(191)

L'espérance du rendement du portefeuille composé des trois titres est facile à calculer puisque

nous avons leur rendement. Donc :

(192)

Ce qui donne sous MS Excel :

(193)

Soit de manière détaillée :

(194)

Maintenant, il nous faut calculer l'espérance en utilisant la relation démontrée dans la partie

théorique des paragraphes précédents :

(195)

avec pour rappel dans notre cas particulier :

(196)

avec dans notre exemple (cellule B13).

Soit sous forme développée pour notre exemple :

(197)

Ce qui donne dans MS Excel pour notre matrice des bêtas :

(198)

Soit sous forme développée (la matrice est symétrique) :

(199)

Et finalement le couple variance/espérance du portefeuille est donné par :

(200)

Soit sous forme détaillée :

(201)

Une fois ceci fait, nous procédons comme pour la frontière de Markowitz. Nous utilisons le

solveur en minimisant la variance tout en imposant une espérance et une contrainte comme

quoi la somme des parts des actifs financiers est égale à l'unité :

(202)

Ce qui donne le tableau variance/rendement suivant (à comparer avec le même tableau de

Markowitz) :

(203)

et le graphique suivant (comparaison directe avec Markowitz mise en évidence) :

(204)

La suite de l'exercice (C.M.L.) se fait de la même manière que dans le modèle de Markowitz.

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