Notes sur le modèle de populations, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur le modèle de populations, Notes de Management

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Notes de gestion sur le modèle de populations Les principaux thèmes abordés sont les suivants: définition de population, le modèle exponentiel, le tableau.
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Il existe de nombreux modèles mathématiques permettant d'étudier la croissance d'une

population. Le terme "population" est utilisé ici au sens le plus large - il peut s'agir d'une

population d'humains, d'animaux, de plantes, de personnes infectées par un virus etc.

Pour construire un modèle mathématique, il est nécessaire de faire des hypothèses. Ces

hypothèses jouent deux rôles : préserver certaines caractéristiques essentielles de la réalité et

simplifier suffisamment cette réalité afin qu'elle puisse être étudiée par la mathématique.

MODÈLE EXPONENTIEL Dans ce modèle de dynamique des populations (un des plus simples), l'hypothèse sera la

suivante : le taux de variation de la population est proportionnel, en tout temps t, à la

population P(t) présente au tempst.

Nous pouvons penser, à priori, que cette hypothèse est raisonnable pour une foule de

situations. Par exemple plus la population humaine est grande et plus le taux de variation de

cette population, exprimé en nombre de personnes qui s'ajoutent par unité de temps, sera

grand. De même, plus il y a de personnes infectées par un virus et plus, dans les semaines qui

viennent, il y aura de nouveaux cas de personnes infectées.

Mathématiquement, cette hypothèse peut se traduire à l'aide de l'équation différentielle (cf.

chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(14)

Cette équation différentielle est un modèle mathématique représentant une situation où le taux

de croissance de la population est proportionnel à la grandeur de la population en tout temps .

Dans ce cas, k est une constante appelée "taux d'accroissement" et nous verrons plus loin

comment nous peuvons la déterminer. Dans certaines situations, la valeur de k est négative

indiquant le fait que la population diminue avec le temps au lieu de croître. Il est évident qu'une

solution à cette équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est :

(15)

En premier lieu nous déterminerons la valeur de la constante k, à partir de données

démographiques pour l'année 1965. À cette époque, il y avait 3 milliards de personnes sur la

planète Terre. De plus, à cette époque, la population augmentait de 54 millions par année.

Ainsi, en 1965 :

(16)

Ce qui nous donne :

(17)

Soit 1.8%. L'équation différentielle est alors :

(18)

Pour déterminer la constant multiplicative, il suffit de poser et de la choisir en

conséquence (puisqu'elle correspond à la condition initiale). Ainsi, en 1965 nous avions :

(19)

Si ce modèle mathématique est conforme à la réalité, la solution trouvée nous permettra

d'estimer la population d'humains sur la terre pour des temps ultérieurs à 1965. Voici le

graphique de la fonction :

(20)

Si nous évaluons P(37), cela nous fournira la prédiction pour la population en 2002. Nous

trouvons 5.84 milliards ce qui est assez proche de la réalité.

Le lecteur pourra également facilement vérifier le tableau suivant selon les valeurs de k:

Taux d'accroissement par an k Temps de doublement en années

0.5% 139

1% 69

1.5% 46

2% 35

2.5% 28

3% 23

3.5% 20

4% 17

Tableau: 6 - Taux d'accroissement de la population selon modèle exponentiel

Nous voyons alors immédiatement, que selon le modèle exponentiel, que une croissance qui

peut paraître lente, de l'ordre de 3% par an, est en fait véritablement explosive puisqu'elle

entraîne un doublement tous les 23 ans. Soit une multiplication par plus de 17 en un siècle. Or,

un siècle est vite passé!

Cette simple constatation montre à quel point dans ce modèle sont mensongers les arguments

qui nous font chercher la solution d'un problème économique ou social dans la croissance, et

même, comme il est souvent admis, dans une croissance durable. Il est clair qu'aucune

croissance ne peut véritablement durer, elle n'est qu'un épisode transitoire, nécessairement

suivi d'un palier ou même d'une décroissance. Résoudre une difficulté par la croissance ou le

maintient de celle-ci c'est reporter le problème à plus tard, à la période où il faudra trouver les

moyens à la fois d'arrêter cette croissance et de résoudre autrement cette difficulté restée un

temps camouflée.

Le modèle de croissance que nous avons présenté ne peut par contre être valable sur de très

longues périodes de temps. En effet, si nous calculions, en utilisant l'équation précédente, la

population dans 7 siècles le résultat serait que sur chaque mètre carré de la terre, excluant

l'eau, il y aurait, en moyenne, dix humains! De même, une population de personnes infectées

par un virus ne peut pas vraiment être décrite par un tel modèle.

Ces derniers résultats nous enseignent que si nous voulons élaborer une modélisation de la

croissance d'une population, qui soit davantage conforme à la réalité, il va falloir modifier nos

hypothèses initiales. Ce que nous allons de suite voir avec les modèle logistique déterministe.

Mais avant cela donnons un exemple symphatique où une explosion exponentielle a aussi lieu.:

Chaque individu sur Terre a nous le savons, normalement, deux parents, quatre grands-parents

et huit arrière-grands-parents et ainsi de suite à chaque génération, si nous remontons le

temps, le nombre d'ancêtres doubles. Mais cela ne peut pas doubler ainsi indéfiniment et la

croissance exponentielle doit s'arrêter à un moment ou à un autre! Si le nombre d'ancêtres

double à chaque génération et que nous remontons seulement 2'000 ans en arrière, nous

aurions à titre individuel à peu près 1023 ancêtres en considérant que 25 ans pour une

génération... Deux mille ans en arrière, ce qui n'est pas si éloigné, et ces ancêtres

représenteraient à peu près l'équivalent de la masse totale de la Terre si cette masse n'était fait

que de corps humains! La réponse à ce paradoxe apparent est bien sûr qu'il y a énormément

(vraiment énormément!) de répétitions dans chaque arbre généalogique (des parents ont

plusieurs enfants... et les pères plusieurs femmes... et réciproquement) et que donc nous

sommes tous sur une période assez courte cousins...

Nous avons aussi les données actuelles concernant l'évolution la population mondiale passée:

AnnéePopulation mondiale

-100000 0.5 million

-10000 1 à 10 millions

-6500 5 à 10 millions

-5000 5 à 20 millions

-200 150 à 231 millions

1 170 à 400 millions

200 190 à 256 millions

400 190 à 206 millions

AnnéePopulation mondiale

1910 1.750 milliard

1920 1.860 milliard

1930 2.07 milliards

1940 2.3 milliards

1950 2.519 milliards

1955 2.757 milliards

1960 3.023 milliards

1965 3.337 milliards

500 190 à 206 millions

600 200 à 206 millions

700 207 à 210 millions

800 220 à 224 millions

900 226 à 240 millions

1000 254 à 345 millions

1100 301 à 320 millions

1200 360 à 450 millions

1250 400 à 416 millions

1300 360 à 432 millions

1400 350 à 374 millions

1500 425 à 540 millions

1600 545 à 579 millions

1650 470 à 545 millions

1700 600 à 679 millions

1970 3.696 milliards

1975 4.073 milliards

1980 4.442 milliards

1985 4.843 milliards

1990 5.279 milliards

1995 5.692 milliards

2000 6.085 milliards

2005 6.5 milliards

1750 629 à 691 millions

1800 0.813 à 1.125 milliard

1850 1.128 à 1.402 milliard

1900 1.550 à 1.762 milliard

Tableau: 7 - Évolution population mondiale (Wikipedia)

Nous y observons bien une croissance exponentielle pour l'instant... mais quand même pas

avec des valeurs correspondant au petit calcul de notre exemple de l'arbre généalogique et ce

même en cumulé!

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