Notes sur le modèle de Shrodinger - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle de Shrodinger - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur le modèle de Shrodinger - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'onde associée de de broglie, l'équation classique de schrödinger.
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MODÈLE DE SCHRÖDINGER

Des expériences (effet Compton, effet photoélectrique, fentes de Young, optique

géométrique/ondulatoire, etc.) ont montré que les ondes pouvaient, dans certains situations

êtres traitées comme des corpuscules (et inversement). Ce sont ces observations qui amenèrent

Niels Bohrà énoncer sont "principe de complémentarité" qui dit que suivant les expériences

effectuées, il faut considérer la matière soit comme une onde, soit comme des corpuscules. Ces

deux aspect se complétant l'un et l'autre.

ONDE ASSOCIÉE DE DE BROGLIE Le physicien français Louis Victor De Broglie suggère, en 1924, que réciproquement, les

particules (électrons, protons, et autres) pourraient aussi, dans certains cas, montrer des

propriétés d'ondes ! De Broglie émit alors l'idée qu'il existait entre la longueur d'onde d'une

particule de matière et sa quantité de mouvement, une relation similaire à celle d'un photon,

soit (v est la notation pour la fréquence pour rappel...):

(42.137)

donc nous pouvons écrire en utilisant la relations étabilies dans la chapitre de Mécanique

Ondulatoire:

(42.138)

où le rapport :

(42.139)

De Broglie émit dès lors l'hypothèse suivante : pour un corpuscule de masse m et de

vitesse v nous avons :

(42.140)

est appelé "longueur d'onde associée de De Broglie".

La matière en mouvement aurait donc une longueur d'onde associée. C'est une longueur d'onde

extrêmement petite pour des masses de l'ordre du kilogramme. Même si la vitesse

est alors . Comme nous l'avons vu, les phénomènes d'interférence

et de diffraction sont important seulement lorsque la taille des objets ou fentes n'est pas

beaucoup plus grande que la longueur d'onde. Il est donc impossible de détecter les propriétés

ondulatoires des objets de tous les jours. Il n'en est pas de même pour les particules

élémentaires, les électrons en particulier.

Les électrons peuvent donc avoir des longueurs d'onde de l'ordre de ce qui

correspond à l'espacement des atomes d'un cristal. C.J. Davisson et L.H. Germer exécutèrent

une expérience cruciale : ils diffusèrent des électrons sur la surface d'un cristal et au début

1927 observèrent que les électrons éjectés étaient distribués en pics réguliers. Lorsqu'ils

interprétèrent ces pics comme des pics de diffraction, ils trouvèrent que la longueur d'onde de

l'électron diffracté était exactement celle prédit par De Broglie.

Mais alors qu'est-ce qu'un électron ?? Les illustrations qui montrent un électron comme une

minuscule sphère chargée négativement ne sont que des images commodes, mais inexactes. En

fait, nous devons utiliser le modèle corpusculaire ou ondulatoire, celui qui fonctionne le mieux

selon la situation de façon à pouvoir comprendre ce qui se produit. Mais il ne faut pas en

conclure qu'un électron est une onde ou une particule. Nous devrions plutôt dire qu'un électron

est "l'ensemble de ses propriétés mesurables". Certains physiciens emploient encore

l'expression "quanton" pour décrire tout système se comportant soit comme une onde soit

comme une particule.

De Broglie put alors suggérer que chaque orbite quantifiée (selon le postulat de quantification

de Bohr) d'une orbite électronique est alors une onde stationnaire. Comme pour les modes

résonnants d'une corde, seules les ondes dont la circonférence de l'orbite circulaire contient un

nombre entier de existent, soit :

avec

(42.141)

En remplaçant par , nous obtenons :

(42.142)

Ce qui est bien la condition quantique proposée par Bohr. Les orbites et les états d'énergie

quantifiés du modèle de Bohr, sont dus à la nature ondulatoire de l'électron et au fait que

seules des ondes stationnaire résonantes persistent. Ceci suppose que la dualité onde-

corpuscule est à la base de la structure de l'atome.

La notion ondulatoire de la particule permit ensuite au physicien Erwin Schrödinger de

développer une équation dite "équation d'onde" pour décrire les propriétés ondulatoires des

particules.

Petit interlude sympathique... puisque connue l'onde associée de De Broglie et étant donné le

résultat vu lors de notre étude du théorème du Viriel dans le chapitre de Mécanique Des Milieux

Continus, nous pouvons mettre en relation :

(42.143)

Ainsi, nous pouvons pour une fluide (liquide), obtenir la valeur de "l'onde thermique associée de

De Broglie". Ce qui nous donne :

(42.144)

Nous reviendrons sur cette relation lors de notre étude des superfluides en mécanique des

milieux continus.

ÉQUATION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Rappelons la forme unidemensionnelle de l'équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique

Ondulatoire) :

(1) (42.145)

Pour simplifier, cherchons une solution particulière de la forme (voir le chapitre de Mécanique

Ondulatoire ou le chapitre d'Électrodynamique pour l'analogie) :

(2) (42.146)

est l'amplitude du champ associé à la particule. Il est important de remarquer que la

partie périodique ne contient pas de paramètres de déplacement (comme c'est le cas en

électrodynamique par exemple) car la fonction se doit de décrire des solutions "statiques"

(attention à ne pas prendre ce terme à la lettre).

Pour des raisons historiques cette amplitude est couramment appelée "fonction d'onde" bien

que cette appellation soit trompeuse. Il serait peut-être meilleur de l'appeler simplement

"amplitude du champ associé à la matière".

C'est la recherche de l'expression de cette fonction qui va nous amènera lors de l'étude d'un cas

particulier (bien plus loin dans le texte) à l'expression bien connue de l'énergie d'ionisation d'un

électron de nombre quantique ndonné et pour son atome de numéro atomique N donné.

Si nous introduisons (2) dans (1), nous obtenons :

(3) (42.147)

Nous avons aussi :

(42.148)

d'où :

(4) (42.149)

si nous introduisons (4) dans (3) nous obtenons alors "l'équation de Schrödinger

unidimensionnelle classique" (en l'absence de champ magnétique...) :

(42.150)

Remarque: L'énergie potentielle pourrait aussi bien être gravitationnelle, qu'électrique ou les

deux combinées (donc de nature quelconque). Mais la gravitation est tellement faible à cette

échelle par rapport aux forces électrostatiques qu'elle est négligée.

Nous pouvons récrire l'équation précédente en la généralisant à un système à trois dimensions.

Ce qui nous donne finalement:

(42.151)

où n'est autre que le Laplacien scalaire :

(42.152)

Remarques:

R1. Cette équation n'est pas un invariant de Lorentz étant donné qu'elle a été établie à partir de

l'expression classique de l'énergie (et non relativiste).

R2. La fonction d'onde plane que nous avons prise au départ n'a pas une signification physique

étant donné qu'elle transporte une énergie infinie. Une meilleure solution est de considérer un

paquet d'ondes. Toutefois, parmi les paquets d'onde généralement employés, elles sont

constituées d'une superposition d'ondes planes. Dès lors, en étudiant ses effets sur une des ondes

planes, nous pouvons accepter les conclusions physiques que nous pouvons en déduire.

Hamiltonien de schrödinger

L'équation de Schrödinger peut également s'écrire sous la forme (après quelques petites mises

en facteurs élémentaires) suivante:

(42.153)

Nous écrivons cela en mécanique quantique sous la forme:

(42.154)

où H est donc donc l'hamiltonien du système (ou énergie totale) et constitue un opérateur

fonctionnel et l'énergie totale, la valeur propre.

L'équation de Schrödinger est donc une équation aux dérivées partielles du second ordre,

linéaire homogène. Quelle que soit l'énergie totale, elle admet des solutions (ouf!), mais nous

montrons qu'en général ces solutions croissent très rapidement (croissance de type

exponentiel) quand nous nous éloignons à l'infini dans certaines directions et sont donc

physiquement inacceptables. Il n'y a que des valeurs particulières de l'énergie totale qui

donnent lieu à des solutions physiquement acceptables et en général, l'ensemble de ces valeurs

comprend des valeurs discrètes (fonctions trigonométriques à la source) qui sont les "niveaux

liés" du système (parce que leur fonction propre décroît rapidement à l'infini) et un continuum

de valeurs qui sont les "niveaux non liés" (leur fonction propre restant finie à l'infini). Plus

précisément, si W est la borne inférieure des valeurs de l'énergie potentielle à l'infini, les

niveaux liés se situent au-dessous de W, alors que les valeurs supérieures à Wconstituent le

continuum des niveaux non liés.

Par exemple, dans l'étude de l'oscillateur harmonique (un des cas pratiques les plus difficile au

niveau du formalisme) que nous ferons plus loin nous avons:

(42.155)

avec . Il existe donc que des niveaux liés.

Dans l'atome d'hydrogène:

(42.156)

avec . Les niveaux liés seront négatifs, et toutes les valeurs positives de l'énergie seront

des niveaux non liés.

Ceci ayant été dit, voyons également comme exemple (très important) la manière de déterminer

l'hamiltonien H de l'équation de Schrödinger d'une particule chargée non relativiste dans un

champ électromagnétique.

Nous avons vu en mécanique analytique que le lagrangien était défini par la soustraction de

l'énergie cinétique et potentielle selon la relation:

(42.157)

Nous avons dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien de l'interaction champ-

courant relativiste était donné par :

(42.158)

Si nous rajoutons un champ électrique (et donc un potentiel électrostatique U) en plus du

champ électromagnétique le lagrangien s'écrit alors (puisque le potentiel se soustrait selon la

définition du lagrangien!) :

(42.159)

Dans l'approximation classique (non relativiste) nous savons que nous avons (cf. chapitre de

Relativité Restreinte):

(42.160)

Comme nous nous restreignons au cas non relativiste nous pouvons éliminer le terme constant

d'énergie de la masse au repos tel que :

(42.161)

Toujours dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons démontré que l'hamiltonien

était donné par :

(42.162)

Nous avons donc :

(42.163)

De plus, nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Analytique que :

(42.164)

Il vient donc que :

(42.165)

Finalement :

(42.166)

Soit après simplification :

(42.167)

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