notes sur le modèle de Shrodinger - 2° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

notes sur le modèle de Shrodinger - 2° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur le modèle de Shrodinger - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la condition de normalisation de de broglie, les Etats liés et non liés.
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H contient donc l'énergie cinétique et l'énergie potentielle totale. Il n'y a pas de terme

magnétique car la force de Laplace, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de

Magnétostatique, ne travaille pas (y'en a ils ont de la chance...). H est bien l'énergie totale du

système classique, cependant la relation précédente n'est pas vraiment adaptée au formalisme

de Hamilton car les moments conjugués n'apparaissent pas. Mais il est très simple des les

introduire à partir du résultat obtenu précédemment qui était :

(42.168)

donc :

(42.169)

Si nous passons en mécanique quantique, nous devons remplacer les par leurs opérateurs

respectifs dont nous avons démontré l'origine plus haut. Ainsi, nous avons :

(42.170)

qui doit s'écrire dans le cas général (le potentiel vecteur anti-commute avec la quantité de

mouvement) :

(42.171)

Ce que l'on note traditionnellement sous la forme (sic!):

(42.172)

Remarque: Dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste nous démontrerons la forme

relativiste de ce hamiltonien associée à l'équation de Klein-Gordon généralisée ou encore celui

de Dirac qui inclut le spin.

Heureusement nous ne traîterons pas d'exemples où il faudra trouver des solutions à l'équation

de Schrödinger avec un tel hamiltonien sur ce site...

CONDITION DE NORMALISATION DE DE BROGLIE

En général, dans un état dynamique donné, la particule (s'il s'agit d'un système à une particule)

décrite par la résolution de l'équation de Schrödinger pour des paramètres bien définis est mal

localisée, car x, y, z sont mal déterminés de par même le principe d'incertitude de Heisenberg.

Il y a donc lieu de définir une probabilité dP de trouver la particule dans l'élément de

volume dxdydz entourant un point (x, y, z), d'où l'existence d'une fonction de distribution des

coordonnées telle que:

(42.173)

où est donc une quantité essentiellement positive ou nulle (probabilités obligent!) qui

doit s'exprimer à l'aide de la fonction de Schrödinger . Nous avons d'ailleurs de tels

exemples très détaillés dans le présent chapitre et à la fin de celui de Chimie Quantique.

Des analogies avec la physique ondulatoire classique, plus précisement avec

l'électrodynamique, ont conduit à admettre que comme la densité volumique d'énergie d'une

onde électromagnétique ést proportionnelle au carré de son amplitude (cf. chapitre

d'Electrodynamique), la densité volumique de probabilité devait être proportionnelle au carré de

l'intensité du champ associé tel que:

(42.174)

où nous utilisons le module de la fonction de Schrödinger comme analogie de l'amplitude et où

la constante est un nombre réel. Dans le cadre de la physique quantique il est beaucoup plus

fréquent de trouver cette dernière relation sous la forme évidente suivante:

(42.175)

qui met mieux en évidence la normalisation nécessaire de la fonction de Schrödinger.

Enfin, il est important de notre que les physiciens ont pour habitude pendant les

développements de garder la même notation pour la fonction de Schrödinger non normalisée

que celle normalisée tel que (ce qui peut prêter à confusion):

(42.176)

où représente alors la probabilité de trouver la particule en un certain point de

l'espace.

Il est évident alors qu'avec cette manière de noter les choses nous avons alors sur tout l'espace

:

(42.177)

comme déjà mentionné lors de notre présentation du premier postulat..

Nous pouvons maintenant considérer la signification physique qui peut-être attachée à

l'intensité du champ associé à la matière. Comme ce champ décrit le mouvement d'une

particule, nous pouvons dire que les régions de l'espace dans lesquelles la particule a le plus de

chance de se trouver sont celles dans lesquelles est maximum.

Indiquons aussi que la relation antéprécédente s'écrit en utilisant la notation ket-bra, que nous

introduirons un peu plus tard, de la manière très raffinée (et très courante...) suivante:

(42.178)

ou suivante (c'est simplement la racine carrée de la précédente):

(42.179)

où le module au dénominateur disparaît puisque, pour rappel, l'intégrale est un nombre réel. Il

ne faut par ailleurs jamais oublié que les physiciens, pour la grande majorité, notent de manière

identique la fonction de Schrödinger non-normalisée et normalisée comme nous le rappel cette

dernière relation.

Comme nous l'avons déjà dit, nous verrons de nombreux exemples détaillées de cette

normalisation dans ce chapitre avec des espaces unidimensionnels et dans le cadre de volumes

dans le chapitre de Chimie Quantique.

Indiquons encore une chose en ce qui concerne la normalisation. Si vous observez l'expression

de l'Hamiltonien des équations de Schrödinger vues jusqu'à présent, alors si est une

constante réelle ou complexe nous avons toujours:

(42.180)

Si nous posons que est une solution de l'équation de Schrödinger, nous voyons alors

que est aussi solution de l'équation. En effet, nous obtenons:

(42.181)

En prenant en compte le fait que la fonction est normalisée, nous obtenons alors:

(42.182)

d'où (certains livres se restreignent à ces solutions pour des raisons pédagogiques):

ou (42.183)

ou rigoureusement nous avons plus généralement:

(42.184)

où est un nombre réel. C'est ce que nous appelons "l'arbitraire de phase" dont nous avions

déjà fait mention au début de ce chapitre sans démonstration.

Ces solutions sont normalisées et correspondent à la même valeur d'énergie E ainsi qu'à la

même densité de probabilité. Ceci montre qu'il n'est pas utile de cherche la signification d'une

valeur négative de (si nous prenons le cas particulier pédagogique ), car est

réel et n'est pas négatif. Seul le carré d'une fonction d'onde, qui correspond à la densité de

probabilité, est significatif d'un point de vue physique.

ÉTATS LIÉS ET NON LIÉS

Supposons que décroisse assez rapidement à l'infini, de telle sorte que l'intégrale:

(42.185)

converge. Il est alors possible de profiter de l'arbitraire régnant sur la fonction d'onde (le fait

que et décrivent le même état) pour rendre cette intégrale égale à l'unité. Nous disons

alors que est une "fonction d'état de champ normée":

(42.186)

Notons qu'il règne encore un arbitraire sur par un nombre complexe de module 1, , sans

que la condition de normalisation soit altérée. Nous appelons cela "l'arbitraire de phase" et en

verrons un exemple plus tard.

Un tel état dynamique est dit "état lié" ou "niveau lié", parce que la particule se manifeste dans

une région limitée de l'espace à cause d'un potentiel. Lorsque, par exemple, l'atome

d'hydrogène est situé sur un niveau fondamental, il est dans un état lié. Nous savons qu'il n'y a

aucune chance de trouver l'électron à plus de quelques angströms du proton, traité comme

infiniment lourd et placé à l'origine comme nous l'avons vu lors de l'étude du modèle de Bohr.

Voici une bonne vision schématique de la chose (état lié):

(42.187) (Source: Pour la Science)

Un exemple d'état par défaut non lié est la particule libre qui peut se propager indéfiniment

dans toutes les directions de l'espace (au fait pour ce dernier exemple c'est un peu plus

compliqué... mais nous le traiterons plus loin).

Remarque: Il est bon de noter que ces concepts d'états liés ont des analogues classiques. Ainsi,

les niveaux liés de l'atome d'hydrogène correspondent aux orbites elliptiques, les niveaux non

liés (énergie positive) correspondent aux orbites hyperboliques.

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