Notes sur le modèle de Sommerfeld et Wilson, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle de Sommerfeld et Wilson, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

PDF (143.2 KB)
5 pages
396Numéro de visites
Description
Notes de physique sur le modèle de Sommerfeld et Wilson. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la dynamique classique pour généraliser le modèle de Bohr à des orbites de type képlérien. L'énergie totale de l'a...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Pour élaborer leur modèle, Sommerfeld et Wilson firent appel à la dynamique classique pour

généraliser le modèle de Bohr à des orbites de type képlérien (donc non uniquement circulaire

mais elliptique dans le cas général).

Comme nous l'avons vu plus haut, dans le cas d'un système à deux corps sollicités par une

force centrale, l'énergie totale du système est (nous négligeons l'énergie potentielle

gravitationnelle) :

(41.75)

Pour trouver l'expression de la trajectoire de la masse m, nous allons procéder exactement de

la même manière que celle utilisée en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) pour déterminer

les orbites képlériennes.

Ainsi, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que :

(41.76)

avec:

et (41.77)

Il va sans dire que dans notre cas, il ne s'agit plus d'un potentiel gravitationnel mais électrique.

Ce qui nous amène à écrire pour notre problème:

(41.78)

Encore nous reste-t-il à trouver l'expression de K sous forme quantifiée (selon les postulats de

Bohr).

Attaquons-nous d'abord à déterminer l'expression du paramètre focal pde la trajectoire:

Dans notre problème actuel, l'énergie cinétique et potentielle exprimées en coordonnées

polaires donnent (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

et (41.79)

L'énergie totale de l'atome est donc donné par:

(41.80)

De façon identique à celle de Bohr, Sommerfeld et Wilson appliquèrent la même forme de

quantification pour le rayon-vecteur et l'étendirent à la quantification pour l'angle azimutal.

Soit les moments cinétiques:

et (41.81)

Les quantités de mouvement s'obtiennent par dérivation du lagrangien par rapport aux

coordonnées généralisées puisque (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

(41.82)

La quantification sur l'angle est immédiate, puisque est une constante du mouvement.

Effectivement, le lagrangien L étant indépendant de (mais pas de ), l'invariance du moment

cinétique se traduit par l'équation de Lagrange:

(41.83)

Ce qui nous donne:

(41.84)

avec étant le "nombre quantique azimutal", pour rappeler qu'il est lié à la

quantification de l'angle polaire.

De cette dernière relation nous obtenons aussi :

(41.85)

Revenons maintenant à:

(41.86)

ce qui nous donne:

(41.87)

Attaquons-nous maintenant à déterminer l'excentricité e de la trajectoire (à ne pas confondre

avec la notation de la charge électrique si possible !).

Ce qui nous donne:

(41.88)

Pour déterminer la quantification du moment cinétique par rapport à la variable radiale, nous

allons nous servir d'une substitution:

(41.89)

En notant simplement r' la dérivée , l'intégrale s'écrit:

(41.90)

où nous avons utilisé comme nous l'avons déjà démontré.

En reportant:

(41.91)

dans l'intégrale du moment cinétique radial, nous obtenons (simple à obtenir):

(41.92)

d'où nous déduisons compte tenu de que:

(41.93)

ce qui nous amène à:

(41.94)

et donc:

(41.95)

Après quelques simplifications élémentaires nous obtenons finalement :

(41.96)

où , appelé également "nombre quantique radial" peut lui être nul! Car c'est le cas si ,

c'est-à-dire si la trajectoire est un cercle (cas particulier de Bohr).

Nous introduisons alors un entier n appelé "nombre quantique principal" tel que:

(41.97)

avec .

Sommerfeld et Wilson montrent par là que les orbitales du modèle de Bohr doivent pouvoir

êtres déterminées par ces deux nouveaux nombres quantiques:

Exemple:

Pour nous avons deux sous-orbitales possibles :

(41.98)

La valeur est impossible par définition car cela signifierait que le petit axe est nul

(ellipse dégénérée en une droite) et l'électron ne peut traverser le noyau (dans le modèle

classique en tout cas). Donc la plus petite valeur entière de possible est 1.

Il y a donc alors n orbites donnant le même terme spectral. Autrement dit, il y a n fois la même

quantification d'énergie. Nous disons également que le niveau d'énergie (total) est "n fois

dégénéré".

L'idée de Sommerfeld était de rendre compte de la richesse des spectres observés. De ce point

de vue, les résultats sont décevants: la quantification de tous les degrés de liberté fait bien

apparaître plus d'états (il faut maintenant deux nombres quantique pour spécifier

complètement l'état, alors que le modèle de Bohr n'en considère qu'un) mais le degré

supplémentaire ne fait qu'introduire une dégénérescence en énergie.

Pour résumer ce modèle, il y a donc exactement le même nombre de niveaux d'énergie et donc

le même nombre de transitions d'états énergétiques possibles que celui de Bohr. Du point de

vue spectral, la théorie de Sommerfeld-Wilson n'apporte rien de plus que celle de Bohr mis à

part que les orbites sont elliptiques et n'explique donc pas l'étendue des spectres observés.

(41.99)

Au fait, l'idée à partir de maintenant va de reprendre le même modèle en y ajoutant les

corrections relativistes. Le travail va nécessairement être plus long mais ô combien fructueux.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome