Notes sur le modèle euclidien Friedmann-Lemaître , Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le modèle euclidien Friedmann-Lemaître , Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes d'astronomie sur le modèle euclidien Friedmann-Lemaître. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation fondamentale des modèles de Friedmann, Le modèle d'espace euclidien, graphique, remarques.
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Le modèle euclidien Friedmann-Lemaître consiste dans la limite newtonienne à étudier

"l'équation fondamentale des modèles de Friedmann":

(51.67)

en considérant les trois situations:

(51.68)

Remarque: Il est possible dans le cadre de la relativité générale de trouver rigoureusement une

solution aux équations d'Einstein des champs appelée "métrique de Robertson-Walker" qui dans

le cas d'une approximation newtonienne nous redonne les équations de Friedmann obtenues dans

le présent texte (souvent ce sont ces approximation qui sont utilisées dans la littérature car la

solution exacte est hors de portée du cadre des cours universitaires).

ESPACE EUCLIDIEN (K=0)

Le modèle d'espace euclidien consiste à supposer que . Autrement dit, nous sommes

dans un Univers dont la densité est dite "densité critique" ou également simplement "plat"

(comme nous le verrons avec le modèle relativiste).

Nous avons alors l'équation :

(51.69)

En disposant les termes de manière adéquate :

(51.70)

et en intégrant, il vient :

(51.71)

Qui se simplifie en (nous élevons au carré d'où la suppression du double signe ±):

(51.72)

Nous avons donc dans ce modèle la relation :

(51.73)

à laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition qui reste

satisfaite :

(51.74)

Ce qui nous donne sur un tracé (nous avons représenté une échelle arbitraire du temps sur

l'axe vertical) une fonction à l'allure suivante (ne pas se fier aux valeurs indiquées elles sont

arbitraires) :

(51.75)

Nous avons mise la zone où en évidence pour bien rappeler que cette partie de la

solution est à rejeter.

Nous avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de façon exponentielle et

et ce indéfiniment.

Remarque: Plus est grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grand (sous-entendu que

la pente est bien évidemment plus grande).

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