Notes sur le modèle logistique déterministe - 1° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur le modèle logistique déterministe - 1° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)

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Notes de gestion sur le modèle logistique déterministe - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le modèle de Verlhust, laforme mathématique, l'équation différentielle, le modèle logistique chaotique.
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Nous allons maintenant nous intéresser à un autre type de modèle autre qu'exponentiel (où la

population explose) qui à l'avant d'avoir d'avoir un comportement asymptotique plutôt que

divergent.

Ce type de comportement est intéressant car les ressources sont normalement limitées et qu'il

y a une compétition entre individus. Le modèle logistique, également appelé "modèle de

Verlhust" permet de rendre compte de cela relativement bien.

Soit N(t) la population au temps t. Posons :

(21)

où r est le taux d'accroissement qui cette fois-ci ne sera pas constant sera défini comme

valant :

(22)

où K est la capacité maximale du milieu. Nous voyons que si K est infini que nous retombons

immédiatement sur le modèle exponentiel et que si N(t) égale K alors r est nul.

Finalement, nous avons :

(23)

Soit :

(24)

Soit sous forme mathématique :

(25)

avec comme condition initiale que .

Il s'agit maintenant de résoudre cette équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel

Et Intégral).

Donc nous avons à résoudre l'équation différentielle :

(26)

Nous posons . L'équation différentielle devient alors :

(27)

ce qui se simplifie en :

(28)

Cette équation différentielle se résout comme à d'habitude. Nous écrivons d'abord l'équation

homogène :

(29)

Une solution particulière immédiate est :

(30)

où A est une constante. En injectant cette solution dans l'équation différentielle initiale donne :

(31)

Nous voyons donc immédiatement que pour l'égalité soit satisfaite notre solution particulière

devient la solution générale si nous l'écrivons sous la forme :

(32)

La solution de l'équation différentielle du début est donc,

(33)

où nous avons remplacé AK par A qui dépend bien évidemment des conditions initiales.

Donc dans notre cas d'étude, la solution s'écrira :

(34)

qui est donc la relation finale du modèle logistique déterministe. Nous voyons d'ailleurs

aisément que si t tend vers l'infini alors l'asymptote horizontale est K.

(35)

MODÈLE LOGISTIQUE chaotique

Nous allons supposer que chaque génération est proportionnelle à la précédente. D'une période

à la suivante, l'évolution de la population peut alors se traduire par une suite du type:

(36)

où représente la population à la période t, la population à la période et k le taux

de reproduction.

Mais on se rend très rapidement compte qu'un tel modèle est irréaliste: la terre aurait depuis

longtemps été submergée par une marée humaine. En effet, le modèle exponentiel ignore des

facteurs importants, comme celui des ressources qui ne sont pas illimitées

Pour rétablir un modèle plus satisfaisant, il faut tenir compte du fait que les ressources

disponibles sont limitées et que, pour tout territoire, il existe une population maximale au-delà

de laquelle la population décroît, quelle que soit l'espèce. Pour trouver une fonction qui

traduirait de façon plus réaliste l'évolution d'une population, énumérons, en les simplifiant un

peu, les propriétés que doit vérifier cette évolution:

1. C'est un phénomène itératif: si représente l'effectif de la population de la période ,

il dépend de celui de la période précédente .

2. Une population ne peut croître indéfiniment sur un territoire délimité: il existe un maximum

après lequel elle décroît. Il faut donc prévoir un facteur rétroactif limitant la hausse de

population quand sa densité devient trop élevée. Pour simplifier les calculs, x ne représentera

pas la population en nombre absolu, mais en pourcentage de ce maximum correspondant à un

territoire donné; x ne peut donc fluctuer qu'entre 0 et 1.

3. k représente le taux de croissance effectif d'une période à la suivante.

L'effectif de la population de la période sera la valeur , exprimée en pourcentage de la

population maximale que peut accueillir le territoire donné, et sera obtenu de l'effectif de la

population de la période précédente t par l'équation:

(37)

le facteur représentant l'effet rétroactif. Cette suite est souvent appelée "suite

logistique" et nous la retrouvons également dans de nombreux autres domaines de la physique

non-linéaire.

En effet, quand la densité de la population est élevée, proche de la saturation, alors est

proche de 1 et, par conséquent, sera proche de 0. Donc, ce facteur rétroactif aura

tendance à minimiser la population .

Nous allons voir que selon la valeur de son taux de croissance effectif k, une population

animale, peut tendre vers un état d'équilibre, ou fluctuer entre deux ou quatre ou huit valeur,

ou varier de façon totalement aléatoire.

Ainsi, pour certaines espèces animales, il est normal que les populations varient régulièrement,

tandis que pour d'autres, il est normal de tendre vers une situation d'équilibre. Cette variété, ce

"chaos" dans certains cas, est liées aux propriétés mathématiques même de l'équation:

(38)

La complexité devient la règle et non l'exception, et ce qui semble "chaotique" découle des

propriétés bien précises d'une fonction bien précise.

Ce sont ces résultats que l'on va retrouver. Pour cela, on va étudier l'évolution de populations

animales dont les taux de croissance effectifs k varient de 1 à 4. On étudiera ces évaluations

par calcul et par l'étude du graphe de la fonction logistique.

Voyons quelques cas particuliers:

- Si la valeur initiale vaut 0.1 et l'évolution de la population pour les quarante

premières périodes est représentée par la courbe ci-dessous:

(39)

On constate que pour ce taux de croissance et cette condition initiale, la population décroît et

va tendre vers zéro.

- Si la valeur initiale vaut 0.1 et l'évolution de la population pour les quarante

premières périodes est représentée par la courbe ci-dessous:

(40)

On constate que pour ce taux de croissance, la population va se stabiliser autour d'un nombre

correspondant à la moitié de la population que le territoire pourrait accueillir.

- Si la valeur initiale vaut 0.1 et l'évolution de la population pour les quarante

premières périodes est représentée par la courbe ci-dessous:

(41)

Avec un taux de croissance effectif de 3, le nombre d'individus de cette population se met à

osciller entre deux valeurs que l'on peut calculer à l'aide de l'ordinateur. On obtient alors les

valeurs 0.64 et 0.68.

- Si la valeur initiale vaut 0.1 et l'évolution de la population pour les quarante

premières périodes est représentée par la courbe ci-dessous:

(42)

Avec un taux de croissance effectif de 3.5 la population oscille entre quatre valeurs: 0.39, puis

0.83, puis 049, et enfin 0.87. L'évolution d'une population qui a un tel taux de croissance

effectif est nettement cyclique.

- Si la valeur initiale vaut 0.1 et l'évolution de la population pour les quarante

premières périodes est représentée par la courbe ci-dessous:

(43)

On constate que, lorsque le taux de croissance effectif k est égal à 4, le nombre d'individus des

populations des périodes successives semble osciller irrégulièrement, de façon "chaotique"

entre les deux extrêmes: la saturation quand x tend vers 1 et l'extinction quand x tend vers 0.

La question maintenant, c'est qu'elle est le comportement de cette fonction pour d'autres

valeurs initiales de population.

Pour le vérifier, on reprend les calculs précédents avec une population initiale représentant 0.8

de l population maximale pour un territoire donné et comparons les résultats obtenus.

La croissance de la population est toujours donnée par l'équation:

(44)

- Selon que la population initiale soit ou , on obtient pour :

(45)

On constate que, quelle que soit la population initiale, elle tend vers zéro.

- Selon que la population initiale soit ou , on obtient pour :

(46)

On constate que, quelle que soit la population initiale, elle tend vers zéro.

- Selon que la population initiale soit ou , on obtient pour :

(47)

On constate ici que l'évolution des populations est très différente. On a pris des populations

initiales éloignées. Si on avait pris des populations initiales très proche, quelle aurait été

l'évolution des deux populations ?

- Selon que la population initiale soit ou , on obtient pour :

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