Notes sur le modèle logistique déterministe - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur le modèle logistique déterministe - 2° partie, Notes de Management

PDF (240.3 KB)
8 pages
416Numéro de visites
Description
Notes de gestion sur le modèle logistique déterministe - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le diagramme de feigenbaum, la loi de malthus, le modèle de leslie.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

(48)

On constate ici que l'évolution des populations est très différente même si elles étaient très

proches initialement et même si l'évolution de ces population d'écoulent d'une fonction très

simple. Si on avait pris comme population initiale on aurait constaté également

une évolution très différente de l'évolution des populations.

Conclusion: en dehors de la phase chaotique, la valeur initiale n'a aucune importance, mais

dans cette phase chaotique, au contraire, la plus petite variation de valeur initiale change du

tout au tout les valeurs suivantes. C'est ce qu'on appelle "l'effet papillon".

DIAGRAMME DE FEIGENBAUM

Pour comprendre l'évolution d'une population selon le modèle logistique, on a représenté

l'évolution dans le temps, quarante périodes, d'une population correspondant à une valeur

initiale précise et à une constante kdéterminée. On a constaté, en prenant quelques valeurs

particulières de k, que pour ces différentes valeurs, la population avait une évolution différente.

On va donc étudier le comportement de la fonction logistique en prenant k comme variable.

En donnant à k des valeurs comprises entre 0 et 4 avec un pas de 0.02, nous allons, pour

chacune des ces valeurs, calculer ce que deviendra la population lapopulation pour chaque

période comprise entre la 30ème et la 130ème .

Le graphique ci-dessous représente donc pour chaque valeur du taux de croissance

effectif k en abscisse, cent valeurs successives de en ordonnées pour t variant de 30 à 130.

(49)

Ce graphique (où l'on peut observer des bifurcations), est appelé "diagramme de Feigenbaum",

du nom du physicien Mitchell Feigenbaum qui l'a étudié en profondeur et a montré qu'on le

retrouvait dans de nombreux phénomènes naturels.

On va maintenant examiner deux propriétés remarquables de ce diagramme: le doublement de

période et sa dimension fractale.

Si on revient à notre exemple où la fonction logistique donne l'évolution d'une population

animale selon son taux de croissance effectif k, le diagramme de Feigenbaum indique que,

quand ce taux est inférieur à 3, le système tend vers un état final stable. Cela correspond en

général à notre intuition influencée par notre désir inconscient d'ordre et de simplicité.

Mais à partir de 3, cela se complique: le nombre d'individus par génération se met à osciller

entre 2 puis 4, puis 8 valeurs... pour enfin entrer dans une zone "chaotique" où toute valeur

semble possible. Il y a déjà quelque chose de fascinant. Mais si on observe de plus près cet

intervalle de doublement qui précède la zone chaotique, on va découvrir des résultats encore

plus curieux.

On prend ainsi d'abord l'intervalle des trois premiers doublements avec 2, puis 4, puis 8

branches, pour un taux de croissance effectif de et on obtient le graphique

suivante:

(50)

Il est remarquable d'observer également sur le graphique ci-dessus qu'il y a deux points qui

sont totalement stables !

Si on prend maintenant l'intervalle on obtient le diagramme de Feigenbaum

suivant:

(51)

On constate sur le graphique ci-dessus que les bifurcations se multiplient à partir de points de

plus en plus rapprochés et sur des intervalles de plus en plus courts. Le physicien Feigenbaum

a démontré deux résultats curieux:

- les bifurcations vont se multiplier à l'infini (!) sur un intervalle qui ne dépassera pas le point

de d'abscisse 3.5699456 appelé le "point de Feigenbaum" ou "porte d'entrée sur le chaos", car,

après ce point, le système devient chaotique. Il se met à fluctuer entre des valeurs

"imprévisibles" et devient extrêmement sensible aux conditions initiales.

- la longueur des intervalles propres aux différentes classes de bifurcation (2, 4, 8, 16,...)

diminue dans un rapport constant, 4.6692... appelé, bien sûr, "constante de Feigenbaum".

Peitgen indique que ces bifurcations, points et constante de Feigenbaum, ne se retrouvent pas

seulement dans le cas de la fonction logistique étudiée par May, mais dans de nombreux

phénomènes physiques comme l'hydrodynamique, l'électronique, les lasers ou l'acoustique.

Remarquons enfin un dernier phénomène bien curieux, celui des "fenêtres". Si on examine plus

attentivement la zone chaotique comprise entre le point de Feigenbaum et , on constate

qu'il existe des zones étroites où la fonction logistique se remet à osciller entre un nombre fini

de bifurcations avant de replonger dans le chaos.

(52)

On constate que, dans cette fenêtre, il y des bifurcations qui ressembleraient au diagramme de

Feigenbaum lui-même si on l'agrandissait.

On aurait pu reprendre les calculs entre et on aurait alors constaté que on

retrouve la même figure et que, si on l'agrandissait à l'infini, on retrouvait toujours (!) la même

figure toujours et toujours:

(53)

On vient ainsi de découvrir une figure fractale: l'attracteur étrange de la fonction logistique.

Grâce à la théorie mathématique du chaos appliquée à la dynamique des populations, l'écologie

reçoit une stimulations décisive. Jusqu'au début des années 1960, le débat sur la dynamique

des populations opposait les tenants d'une théorie déterministe, voyant des évolutions

régulières des populations ne subissant qu'exceptionnellement de brutales variations, à ceux

pensant ces évolutions comme purement aléatoires. Mais de nombreux faits restaient mal

expliqués. En particulier les explosions cycliques de certaines populations et leur périodicité

étrange n'entraient dans aucune des deux explications. En montrant que des modèles

déterministes peuvent donner naissance à un comportement aléatoire, Robert May, réconcilie

ces points de vue à partir d'une théorie plus profonde. Ce qui apparaît à niveau d'appréhension

comme une instabilité généralisée peut se concevoir à un autre comme un chaos stable. Une

situation mathématique chaotique peut se révéler stable au point de vue écologique.

Révolution aux conséquence profondes dans la théorie de l'écologie, et aux implications

pratiques non moins importante, l'approche de Robert May est un trait de lumière dans la

situation théorique passablement confuse qui règne encore dans la dynamique des populations.

Si, à cause de la montée en puissance des ordinateurs, la théorie du chaos a permis des

avancées importantes dans différentes disciplines, elle soulève un débat majeur, celui du

déterminisme. Dans quelle mesure la science permet-elle de prédire l'avenir ? Pour certains, les

résultats obtenus jusqu'ici dans le cadre de la théorie du chaos prouvent l'importance aux

conditions initiales. Pour ces personnes, les équations déterministes n'ont qu'une portée limitée

et l'avenir restera imprévisible. Pour d'autres au contraire, les résultats obtenus mont que l'on

peut trouver un ordre et des lois dans ce qui peut sembler chaotique. Ces lois sont tout

simplement plus complexes.

C'est un débat ouvert et vif qui déborde largement les milieux scientifiques.

Pour les utilisateur de Maple voici le code qui permet de générer le diagramme de Feigenbaum:

with(plots): with(plottools)

feigenbaum:=proc(début,fin,pas) local k,itéré,a,b,s;

s:={}; a:=début;

while a<=fin do itéré:=0.1;

for k to 50 do itéré:=a*itéré*(1-itéré) od;

for k to 100 do itéré:=a*itéré*(1-itéré);

s:=s union {[a,evalf(itéré,4)]};

od;

a:=a+pas

od;

plot([op(s)],'a'=début..fin,style=POINT,symbol=POINT)

end:

feigenbaum(1,4,0.01);

LOI DE MALTHUS

Nous avons vu précédemment quelques modèles déterministes et chaotiques utilisant des taux

d'accroissements pour la simulation. Introduisons maintenant un autre type de modèle utilisant

le numéraire des enfants, des femmes et de leur fécondité respective.

Pour ce modèle, nous énonçons les hypothèses suivantes :

H1. Au départ N individus dont N/2 sont des femelles.

H2. Le taux d'accroissement r est supposé constant à cause d'un taux de fécondité f constant

aussi.

H3. La population s'accroît

Nous avons donc comme données la population au temps t notée N(t), la population féminine

notée et le nombre d'enfants.

Avec les relations suivantes :

(54)

et donc :

(55)

donc le taux d'accroissement est :

(56)

Finalement nous obtenons la loi de Malthus :

(57)

ce modèle est donc continu, prend en compte la fécondité mais diverge...

MODÈLE DE LESLIE

Le modèle de Leslie est un peu plus perfectionné que les autres modèles déterministes mais

tout aussi empirique (il est possible comme dans tout domaine de la science de construire des

modèles théoriques valides et toujours plus complet et complexes).

Outre le taux de fécondité et de mortalité, il permet de prendre en compte les tranches d'âges

de la population et certaines de leurs propriétés relativement aux deux facteurs précités.

L'inconvénient de ce modèle est cependant les trop nombreux paramètres à déterminer pour

l'ensemble des classes d'âges...

Le système se base sur la découpe de la population en tranches d'âges tels que par exemple :

- : est le nombre d'individus de 1 an

- : est le nombre d'individus de 2 ans

...

- : est le nombre d'individus de plus 10 ans

...

Ensuite, l'idée est que l'évolution d'une classe d'âge dépende des autres classes d'âges. Par

exemple, les naissances sont données par le taux de reproduction r sommé sur toutes les

classes d'âges (bien évidemment pour certaines d'entre elles le taux est nul...) tel que :

(58)

Il est de tradition et raisonnable pour l'être humain d'admettre que normalement seulement les

classes d'âges pour lesquelles et . Soit :

(59)

Ensuite, le vieillissement et la mortalité m seront prises en compte par les relations :

(60)

Il est relativement aisé de voir que ces équations peuvent être mises sous forme matricielle (cf.

chapitre d'Algèbre Linéaire) de la manière suivante :

(61)

où la matrice contenant les coefficients de mortalité et de reproduction est appelée "matrice de

Leslie".

De manière plus compacte cela s'écrit :

(62)

ou en partant de la population initiale :

(63)

Il est possible de faire des analyses très intéressantes sur ce modèle relativement à l'âge de

faire des enfants et aux conséquences y relatives. Ce modèle est relativement beaucoup utilisé

en biologie marine.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome