Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les conditions de quantification de Sommerfeld, le calcul de l'expression, les transformations, Le t...
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Cependant, le modèle de Sommerfeld et Wilson peut être considéré comme incomplet si nous

ne prenons pas en compte les variations de paramètres qu'engendre les résultats de la théorie

de la relativité restreinte (cf. chapitre de Mécanique Relativiste).

Effectivement, comme nous l'avons démontré dans le développement du modèle de Bohr,

l'énergie cinétique de l'électron est donnée par:

(41.100)

ce qui nous donne:

(41.101)

Pour l'hydrogène et le niveau , nous trouvons et comme facteur de

Michelson-Morley (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(41.102)

Certes, la variation est faible mais les valeurs de spectrométrie étaient tellement précises qu'il

fallait introduire la relativité restreinte pour prendre en compte ces infimes variations et ainsi

valider la théorie par l'expérience.

Remarque: Comme nous pouvons le voir facilement, la relation donne que plus la particule est

éloignée du noyau (n grand) plus sa vitesse est faible. Ce résultat a été confirmé

expérimentalement en remplaçant l'électron artificiellement par un muon et les scientifiques ont

ainsi remarqué que la durée de vie de ce dernier augmentait faiblement en fonction de la valeur

de n.

Déterminons dans l'ordre des choses, l'expression des conditions de quantification avec les

facteurs relativistes. Avant de commencer, il est important de comprendre que nous

considérons le noyau comme fixe et comme référentiel de notre système. Ainsi, par rapport à

ce référentiel la masse de l'électron subit une variation relativiste mais non le potentiel

électrique (il faudrait prendre en compte la variation de ce dernier si et seulement si le

référentiel était l'électron lui-même).

En dynamique relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons démontré que

l'énergie cinétique (sous forme de notation Lagrangienne avec "T" au lieu de ) s'exprime sous

la forme:

(41.103)

L'énergie potentielle (sous forme de notation Lagrangienne avec "V" au lieu de ) ne subissant

pas de variation relativiste, nous avons toujours:

(41.104)

Le lagrangien est donc:

(41.105)

En travaillant en coordonnées polaires, dans lesquelles la vitesse a pour expression:

(41.106)

Dès lors:

(41.107)

Les conditions de quantification de Sommerfeld étant:

(41.108)

A présent, nous devons rechercher des expressions relativistes pour et .

Commençons par :

avec (41.109)

Soit:

(41.110)

Ce qui donne:

(41.111)

Comme :

(41.112)

nous avons finalement:

(41.113)

La première condition de quantification s'écrit donc:

(41.114)

pour :

avec (41.115)

Soit:

(41.116)

Ce qui donne:

(41.117)

Comme :

(41.118)

nous avons finalement:

(41.119)

La seconde condition de quantification s'écrit donc:

(41.120)

En résumé, les conditions de quantification de l'atome relativiste de Sommerfeld sont:

et (41.121)

Nous pourrions, en voyant les deux résultats ci-dessus, conclure un peu trop rapidement en

pensant qu'il aurait suffit finalement de multiplier les deux conditions de quantification par le

facteur de Michelson-Morley relativement à la transformation relativiste de la masse. Or, un tel

raccourci est complètement faux et tout sauf rigoureux ! Effectivement, si vous appliquez un tel

raisonnement il suffirait alors de prendre l'expression de l'énergie totale du modèle non

relativiste de Sommerfeld-Wilson et d'introduire partout où la masse se situe le facteur de

Michelson-Morley. Pourtant le résultat final n'a absolument rien de semblant avec le résultat

que nous allons obtenir plus loin. Il faut donc toujours être prudent et travailler comme le

mathématicien sans brûler les étapes !

L'énergie totale relativiste de l'atome étant donnée par:

(41.122)

Il nous faut exprimer cette énergie totale en fonction des conditions de quantification. Il y a un

long travail mathématique à effectuer mais indispensable pour arriver au résultat de notre

étude.

Soit le calcul de l'expression :

(41.123)

avec :

et (41.124)

En élevant au carré:

et (41.125)

Donc:

(41.126)

Nous ajoutons des deux cotés de l'égalité , ce qui donne :

(41.127)

En multipliant des deux cotés par il vient :

(41.128)

En extrayant la racine carrée:

(41.129)

Si nous introduisons cette dernière relation dans l'expression de l'énergie totale, nous

obtenons:

(41.130)

Maintenant, il nous reste à déterminer les expressions de et en fonction de et

respectivement .

L'intégrale de quantification de l'angle azimutal est immédiate :

(41.131)

Soit:

(41.132)

L'intégrale de quantification du rayon-vecteur nécessite un développement plus conséquent:

(41.133)

Ensuite, viennent de longs et joyeux développements mathématiques:

En reprenant l'expression de l'énergie totale:

(41.134)

Nous obtenons:

(41.135)

En élevant au carré et en faisant quelques transformations:

(41.136)

En travaillant sur le terme entre parenthèse, on le posera égal à A tel que:

(41.137)

En ajoutant et en retranchent et en décomposant le

terme en et ensuite en les regroupant :

(41.138)

Nous posons en vue de simplification des calculs (pour alléger le nombre de termes à

manipuler):

(41.139)

Nous obtenons ainsi:

(41.140)

En mettant en évidence, nous avons :

(41.141)

En ajoutant et en retranchant 1 dans la parenthèse:

(41.142)

En travaillant, à présent, sur les trois derniers termes:

(41.143)

Comme nous avons :

(41.144)

En posant:

(41.145)

Et en posant également:

(41.146)

puisque .

Sommerfeld introduit alors ce qu'il appelle une "constante de structure fine" définie par la

relation:

(41.147)

valant :

(41.148)

Remarque: La constante de structure fine est une des constantes les plus importantes de la

physique. D'abord parce qu'elle est sans dimensions, et secundo parce qu'elle est à ce jour la

mieux connue (au niveau de la précision) de toutes les constantes et tertio, parce qu'elle dépend

que de termes qui semblent être des constantes fondamentales. Les physiciens et astrophysiciens

cherchent donc à observer si la valeur de cette constante varie au cours du temps ce qui

impliquerait immédiatement qu'une au moins des constantes implicites n'est pas atemporelle.

Compte tenu de la constante de structure fine, nous écrivons :

(41.149)

En résumé:

(41.150)

Avec:

(41.151)

Nous aboutissons donc à l'intégrale suivante:

(41.152)

Le théorème des résidus (cf. chapitre d'Analyse Complexe) appliqué à l'intégrale précédente donne pour expression:

(41.153)

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