Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 3° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 3° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'expression de l'énergie, La relation, le moment magnétique dipôlaire quantique, le spin, le princi...
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(41.192)

Finalement, nous obtenons pour l'expression de l'énergie:

(41.193)

Nous pouvons donner une autre expression pour l'énergie de l'atome hydrogénoïde puisque :

et (41.194)

L'expression de l'énergie totale de l'atome hydrogénoïde devient:

(41.195)

Soit:

(41.196)

Dans la littérature, nous trouvons d'autres expressions pour l'énergie totale qui sont plus

intéressantes que les précédentes (car plus traditionnelles). Ainsi, en considérant

que , il vient:

(41.197)

Si nous cherchons une expression en fonction de la constante de Rydberg (voir plus haut) :

(41.198)

Donc l'expression de l'énergie totale relativiste de l'atome hydrogénoïde la plus condensée que

nous puissions trouver dans la littérature et que nous adopterons dans le présent site est:

(41.199)

La relation ci-dessus révèle bien l'existence d'une structure fine puisque les

caractéristiques et de l'orbite de l'électron apparaissent séparément dans un rapport et

non plus uniquement sous la forme d'une somme comme dans le premier modèle de

Sommerfeld et Wilson.

Mais en toute rigueur, nous devrions écrire du fait de l'entraînement du noyau par la

multiplication par le terme :

(41.200)

ou:

(41.201)

Dans la quelle la constante de Rydberg a pour expression:

(41.202)

Cependant comme la masse du noyau est 1840 fois plus lourde que celle de l'électron, nous

pouvons admettre en première approximation que:

(41.203)

MOMENT MAGNÉTIQUE DIPÔLAIRE QUANTIQUE

A la même époque du développement du modèle de Sommerfeld, certains physiciens

s'attachent à étudier une autre propriété de l'atome. Ils observèrent que sous l'application du

champ magnétique, les raies se doublaient. Pour expliquer cela, ils eurent l'idée géniale et

extrêmement simple d'expliquer ce phénomène par le moment magnétique de l'électron.

Remarque: Nous verrons en physique quantique ondulatoire, qu'au fait, même en l'absence de

champ magnétique une mesure très fine des raies montre qu'elles sont toutes doubles et ce à

cause du couplage spin-orbite. Dès lors, une interprétation correcte est de dire qu'il y doublement

du dédoublement des raies sous l'application du champ magnétique.

Ainsi, soit l'expression de la norme du moment magnétique dipolaire (cf. chapitre de

Magnétostatique):

(41.204)

le moment magnétique est donc égal à la surface entourée par l'orbite de l'électron multipliée

par le courant de l'électron (perpendiculaire au vecteur unitaire de la surface) sur sa ligne

d'orbite soit:

(41.205)

où:

(41.206)

est la période du mouvement.

Nous avons vu que la somme des moments cinétiques étant égale à :

(41.207)

donc le rapport moment magnétique/moment cinétique donne:

(41.208)

Le rapport est appelé le "rapport gyromagnétique orbital" et la quantité:

(41.209)

est appelée "magnéton de Bohr".

Remarque: Il est important de se souvenir des quelques développements et définitions qui

viennent d'être faits lorsque nous développerons l'équation de Pauli en Physique Quantique

Relativiste.

Fréquemment nous notons la relation ci-dessus ainsi:

(41.210)

où est appelé "nombre quantique magnétique".

Sachant que le nombre quantique principal est décomposé par les nombres quantiques radial et

azimutal, il y a alors autant de moments magnétiques qu'il y a de géométries différentes

d'orbites pour une valeur donnée du nombre quantique principal. Au fait, il y en a même le

double si nous considérons que l'électron peut tourner dans le même sens ou dans le sens

inverse des aiguilles d'une montre (le moment magnétique étant une grandeur vectorielle).

Maintenant, prenons les deux exemples :

et (41.211)

pour lequel nous posons maintenant , nombre que nous appelons "nombre quantique de

moment cinétique orbital" et ayant des valeurs comprises entre : .

Qu'avons-nous finalement ?

1. Lorsque , nous avons et comme n'a qu'une seule sous-couche, alors lors de

l'application d'un champ magnétique nous n'avons toujours qu'une et une seule raie de visible.

(41.212)

2. Lorsque , nous avons et et comme a deux sous-couches.

Lorsqu'aucun champ magnétique n'est appliqué, les raies des deux sous-couches sont

superposées donc indiscernables (on n'en voit qu'une seule). Mais lorsqu'un champ magnétique

est appliqué les deux-sous couches se distinguent de par le moment magnétique et dès lors

nous avons deux raies mais au total il en existe théoriquement 3 (une sans champ, et deux avec

champ).

(41.213)

Ainsi, nous avons :

(41.214)

où :

(41.215)

L'énergie potentielle d'un moment magnétique placé dans un champ magnétique B vaut:

(41.216)

Donc finalement pour chaque orbitale d'électron soumis à un champ magnétique nous avons :

(41.217)

toujours avec .

L'observation du spectre d'un atome dans un champ magnétique a pour effet d'ajouter des raies

de par l'énergie potentielle du moment magnétique. C'est ce que nous appelons "l'effet

Zeeman" car c'est ce dernier qui a mesuré ces raies pour la première fois (avant la théorie).

SPIN

Diverses constatations expérimentales ont conduit à attribuer à l'électron un moment cinétique

et magnétique propre (dédoublement des raies Zeeman elles-mêmes !!!).

Il a effectivement été expérimentalement mesuré que le moment magnétique résultant était

juste égal à la valeur du magnéton de Bohr. Il est alors tentant d'attribuer ce moment

magnétique à l'électron et émettre l'hypothèse que ce dernier viendrait peut-être du fait qu'il

tourne sur lui-même (moment cinétique intrinsèque) : il possèderait donc un "spin" égal au

magnéton de Bohr et ce dernier pouvant prendre des valeurs négatives ou positives. Nous

parlons alors de "nombre quantique de spin" et ce dernier donne le nombre de différentes

valeurs que peut prendre le spin.

Cependant, cette vision classique d'une rotation propre (moment cinétique intrinsèque) de la

particule est en fait trop naïve et par la même erronée.

En effet, dans un premier temps, si la particule est ponctuelle, la notion de rotation propre

autour de son axe est tout simplement dénuée de sens physique. Rappelons que puisque

par définition, l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent

immobiles, alors si la particule est ponctuelle, son axe propre est sur la particule, donc celle-ci

est immobile.

Dans un deuxième temps, si la particule n'est pas ponctuelle, alors la notion possède un sens,

mais on se heurte dans ce cas à une autre difficulté. Supposons par exemple que la particule

soit un électron, modélisé comme étant un corps sphérique de rayon a. Nous obtenons une

estimation du rayon a en écrivant que l'énergie de masse de l'électron est de l'ordre de

grandeur de son énergie potentielle électrostatique (cf. chapitre d'Électrostatique), soit :

(41.218)

La valeur numérique de ce "rayon classique de l'électron" est en prenant sa

masse au repos.

Si nous attribuons alors à cet électron un moment cinétique égal à (qui a les unités d'un

moment cinétique), nous obtenons pour un point de l'équateur une vitesse v vérifiant :

(41.219)

La valeur numérique de la vitesse vaut alors ... donc la vitesse de rotation

propre serait supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui pose bien évidemment

des problèmes avec la théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Nous ne pouvons donc avec les outils mathématiques de la physique quantique corpusculaire

formaliser rigoureusement la notion de spin mais nous y reviendrons dans le chapitre de

physique quantique relativiste (équation de Pauli) et nous montrerons que le spin est au fait

quelque chose de beaucoup plus subtile qu'une simple rotation.

Mais revenons à notre vision classique en attendant. Donc, lorsque nous observons un

dédoublement des raies de Zeeman nous supposons que cela est du au spin s de l'électron qui

peut prendre deux orientations (sens vectoriels) différentes.

Il a donc été mesuré que le moment magnétique propre de l'électron est égal à la valeur du

magnéton de Bohr soit:

(41.220)

Si nous posons (ce que les physiciens aiment bien faire) nous avons:

(41.221)

(ceci juste afin d'obtenir une similitude avec ...)

Cette valeur est constante mais peut être négative ou positive en fonction du sens de rotation

propre de l'électron relativement à l'observateur (le moment cinétique ayant une orientation

vectorielle). Ainsi:

(41.222)

Ce résultat, de la plus haute importance, nous amène aussi à la conclusion que chaque nombre

quantique magnétique est dégénéré deux fois par le nombre quantique de spin ! Ainsi, comme

nous le verrons un peu plus loin dans des exemples concrets (avec schémas à l'appui), chaque

nombre quantique principal n est dit "dégénéré" un nombre de fois :

PRINCIPE D'EXCLUSION DE PAULI

Suite au fait que l'état d'un électron atomique peut être caractérisé avec au moins les 4

nombres quantiques suivants dont nous avons démontré la provenance :

(41.223)

ou sous forme étendue suivante :

(41.224)

Wolfgang Pauli, a alors posé pour expliquer certaines régularités dans les propriétés atomiques

un principe d'exclusion nommée aujourd'hui "principe d'exclusion de Pauli" et qui s'énonce de

la manière suivante : Dans un atome, deux électrons ne peuvent avoir le même

quadruplet ordonnée de nombres quantiques.

Remarques:

R1. Nous notons parfois selon les situations (pour ce que cela change...).

R2. Nous savons par la physique quantique ondulatoire que le principe d'exclusion s'applique

aux particules qui sont des "fermions". Ce sont les particules (élémentaires ou composées) qui

ont un spin demi-entier, comme le proton, le neutron et le neutrino. Ce principe ne s'applique pas

au groupe de particules dites "bosons", qui ont un spin nul ou entier. Les particules alpha, qui

sont composées d'un nombre pair de fermions, sont des bosons. Les photons sont des particules

de spin 1, donc des bosons.

Il est possible à partir de ce principe, d'établir une sorte de catalogue des éléments atomiques à

partir des possibilités de remplissage des orbitales, supposées disposées en couches,

améliorant ainsi la classification de Mendeleïev.

Les étudiants les voient fréquemment pour la première fois dans les écoles lors de leurs cours

de chimie. Ils les utilisent la plupart du temps, sans savoir ce qu'ils représentent vraiment.

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