Notes sur le modèle spéculatif de Bacheleur, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur le modèle spéculatif de Bacheleur, Notes de Management

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Notes de gestion sur le le modèle spéculatif de Bacheleur. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'introduction les techniques mathématiques spéculatives stochastiques de base utilisées en finance, La probabi...
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Après ces nombreuses définitions contextuelles, le but maintenant est d'introduire les

techniques mathématiques spéculatives stochastiques de base utilisées en finance. En effet, la

finance étant devenue au fil du temps un domaine de plus en plus concurrentiel, les marges sur

les produits standards ont tendances à se réduire, la prime est donc donnée à l'innovation.

Cette évolution a conduit à une sophistication croissante des produits financiers, faisant ainsi

appel à des notions mathématiques poussées, basées principalement sur des modèles de

probabilités, introduits par Louis Bachelier dans sa "Théorie de la spéculation" mais réellement

utilisés que depuis 1973 grâce aux différents travaux de Black & Scholes, et Merton (qui leur

ont valu à leurs auteurs le dernier Prix Nobel d'économie).

Regardons pour commencer quels sont les développements proposés par Louis Bachelier dans

sa thèse pour déterminer l'espérance mathématique prévisionnelle et l'écart-type prévisionnel

d'un actif financier (résultat que nous utiliserons dans le cadre de l'étude du modèle

d'évaluation de Black & Scholes).

Désignons par la fonction de densité de probabilité que le cours d'un actif soit x à un

temps t. Dès lors, la probabilité cumulée que la valeur du cours se trouve compris dans

l'intervalle élémentaire [x, x +dx] au temps t est de la forme:

(51)

(dont l'intégrale sur l'ensemble du domaine de définition devra donner 1).

En vertu du quatrième axiome des probabilités (voir chapitre du même nom), la probabilité que

le cours évolue d'une certaine valeur à une autre (chaîne de Markov temporelle à temps

continu), sera égale au produit de la probabilité cumulée pour le cours soit coté x dans un

intervalle donné à l'époque , c'est-à-dire:

(52)

multipliée par la probabilité cumulée pour que, le cours étant coté x à l'époque , le cours soit

coté z dans un intervalle donné à l'époque , c'est-à-dire, multipliée par :

(53)

La probabilité cherchée est donc :

(54)

Cette écriture suppose donc que les cours sont des variables aléatoires indépendantes...

Le cours pouvant se trouver à l'époque dans tous les intervalles dxcompris entre , la

probabilité cumulée pour que le cours soit coté z à l'époque sera :

(55)

La probabilité de ce cours z, à l'époque a aussi pour expression :

(56)

Nous avons donc :

(57)

ou :

(58)

telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la fonction de distribution de probabilité p que nous

recherchons. Cette équation est vérifiée, comme nous allons le voir, par la fonction :

(59)

Mais il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'une solution particulière (raison pour laquelle ce modèle

est parfois appelé "modèle gaussien de Bachelier")... et de plus rien ne dit que les deux

variables aléatoires indépendantes suivent toutes la même loi de probabilité...

Les deux hypothèses de construction du modèle vues jusqu'à maintenant (indépendance et

distribution identique) sont souvent indiquées en finance sous l'appelation des "hypothèses

d'indépendance et de stationnarité".

Ceci étant dit, nous devons alors bien évidemment imposer (axiomes des probabilités

obligent!):

(60)

L'intégrale classique qui figure dans le deuxième terme a pour valeur (cf. chapitre de

Statistiques):

(61)

nous devons donc obligatoirement avoir pour la normalisation :

(62)

Il en découle :

(63)

En posant , nous obtenons c'est-à-dire que A égale la probabilité du cours coté

actuellement. Il faut donc établir que la fonction :

(64)

où dépend du temps, satisfait bien à l'équation de condition ci-dessus.

Soient les quantités correspondant à et relatives aux temps , il faut donc prouver

que l'expression :

(65)

peut se mettre sous la forme où A,B ne dépendant que du temps! Cette intégrale

devient en remarquantz que n'est pas une variable d'intégration (nous supposons qu'il est

indépendant de x comme vous l'aurez compris depuis le début)

(66)

Nous allons maintenant changer la forme de l'intégrale (nous changeons aussi de notation pour

l'exponentielle sinon cela devient illisible) :

(67)

et posons :

(68)

Nous aurons alors :

(69)

L'intégrale :

(70)

ayant pour valeur 1 (cf. chapitre de Statistiques), nous obtenons finalement :

(71)

Cette expression ayant la forme désirée puisque:

(72)

nous devons en conclure que la probabilité que le titre soit coté z au temps s'exprime

bien par la relation :

(73)

Nous voyons que la probabilité est régie par un loi de distribution de type loi Normale centrée

réduite! Ceci constitue un résultat remarquable obtenu par Louis Bachelier en 1900 et qui avait

été déjà spéculé par Jules Regnault au milieu du 19ème siècle.

Effectivement, Regnault compare la spéculation à un jeu de pile ou face dans lequel les deux

côtés de la pièce correspondent aux deux possibilités, hausse ou baisse du cours. Sous

l'hypothèse qu'à quelque moment que ce soit, il n'y jamais plus d'avantages pour une chance

que pour l'autre. Autrement dit, à chaque cotation, le cours a une chance sur deux

d'augementer et une chance sur deux de diminuer. Mais chaque spéculateur a son opinions sur

la question. Sans cette diversité d'opinions, il n'y aurait pas conséquent ni échanges ni

variations des cours. Les opérateurs se répartissent donc en deux groups (haussiers, baissiers)

qui font des évaluations subjectives de la valeur future du cours qui comportent forcément une

marge d'erreur. Cependant, pour Regnault, les erreurs des spéculateurs ne sont pas

quelconques, elles obéissent à une distribution de Gauss. Effectivement, comme l'a démontré

Laplace, si la probabilité d'erreur est petite et qu'elles sont nombreuses et indépendantes alors

les résultats des erreurs suivant une loi de Gauss (cf. chapitre de Statistiques).

La relation antéprécédente nous montre que les paramètres satisfont à la relation

fonctionnelle :

(74)

différentions par rapport à , puis par rapport à . Le premier membre ayant la même forme

dans les deux cas, nous obtenons :

(75)

donc après simplification :

(76)

Ce qui donne finalement :

(77)

Cette relation ayant lieu, quels que soient , la valeur commune des deux rapports est

constante et nous avons donc :

(78)

Une fonction qui satisfait cette relation existe et est :

(79)

H désignant une constante ou une fonction indépendante du temps.

Vérification :

(80)

donc :

(81)

Nous avons donc pour expression finale de la fonction de densité de probabilité de la valeur du

cours x:

(82)

avec x (pour rappel) qui est supérieur ou égal à 0.

Le lecteur remarquera donc que pour une valeur de H et t fixées nous avons toujours ici la

forme d'une loi Normale centrée (cf. chapitre de Statistique)!! Les financiers disent alors que

nous avons affaire à un "hasard sage", sous-entendu que les variations sont faibles et

régulières.

esperance et variance positive Comme le cours ne peut pas être négatif, nous nous restreignons au calcul de l'espérance

positive comme étant alors (cf. chapitre de Statistiques) :

(83)

en notant :

(84)

le "coefficient d'instabilité" (sur lequel nous ne savons rien) nous avons ainsi l'espérance

positive du cours qui est au final:

(85)

l'espérance mathématique du cours est donc proportionnelle à la racine carrée du temps

comme l'est le mouvement brownien que nous avons étudié dans le chapitre de Mécanique

Statistique!!

Il découle aussi immédiatement de ce résultat que l'écart moyen de la valeur du cours à deux

instants différents consécutifs est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps écoulé

entre les deux instants!

Nous remarquons aussi qu'à l'instant où t est égal à 0, l'espérance positive du gain est nulle car

la valeur y est connue de manière sûre (c'est ainsi qu'il faut l'interpréter).

Remarque: Le mouvement brownien est massivement employée par les professionnels, puisque

les calculs de volatilité annualisée (en %/an) dont on trouve les résultats dans toute page

financière de la presse quotidienne, ne sont que des conversions en racine carrée du temps des

calculs de volatilité périodique (en %/mois ou %/semaine) utilisée comme base d'estimation.

Calculons maintenant la variance positive aussi:

(86)

Nous posons:

(87)

soit:

(88)

avec:

(89)

Il vient alors:

(90)

Or dans le chapitre de Statistique nous avons démontré par intégration par parties que:

(91)

Soit au final:

(92)

Donc si nous posons:

(93)

Nous avons finalement:

(94)

Donc l'écart-type positif est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps (et le résultat

serait le même si nous calculions l'écart-type total)!

Donc par stabilité de la loi Normale (cf. chapitre de Statistiques) nous avons:

(95)

Il s'ensuit immédiatement que:

(96)

et:

(97)

Donc les variations du prix du cours d'un actif financier entre deux instants successifs ont une

loi de probabilité bien évidemment aussi décrite par une loi Normale centrée (découlant donc

de la stabilité de cette loi) caractérisée elle aussi par une espérance positive et un écart-type

positif proportionnels à la racine carrée du temps.

Ce résultat démontré mathématiquement avait été mesuré par Regnault une cinquantaine

d'années auparavant (~1850) en observant que l'écart moyen de titres obligataires français était

proportionnelle à la racine carrée du temps.

Ceci dit il faut accepter les limites de cette approche. Prenons par exemples les rendements de

journaliers de l'indice Dow Jones en 2008 et 2009. D'après les spécialistes possédant les détails

de ces données, elles suivraient plutôt une loi de Student de paramètre 3 qu'une loi Normale...!

Pour donner une comparaison flagrante de la limite de ces approches rappelons (cf. chapitre de

Statistiques) que la probabilité cumulée qu'une variable aléatoire suivant une loi Normale soit

au-delà de 4 écart-types est de 1-99.99366% soit 0.00634%. Cela signifie, si la bourse a 252

jours ouvrés, une certitude d'avoir une grande déviation tous les:

(98)

où nous considérons donc (cf. chapitre de Probabilités) les événements comme disjoints deux à

deux.

Or la réalité montre, par exemple, que l'indice Dow Jones a eu entre 2008 et 2009 en moyenne

8 déviations au-delà de 4 écarts-types par année… et ce n'est guère qu'un peux mieux si nous

faisons une approche avec la loi de Student.

Deux résultats majeurs sont au final à retenir ici sont sous les hypothèses fortes de normalité

centrée et d'indépendance:

1. Que la fonction de distribution de probabilité que le cours d'un actif financier soit x à un

instant t donné suit une loi Normale centrée...!!

2. Que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur d'un actif financier sont

proportionnels à la racine carrée du temps avec une facteur dont nous ne savons rien!!

3. Que l'espérance de gain est globalement nulle (ce qui rend le modèle peu réaliste mais donne

déjà une base de travail).

C'est le premier modèle de base à connaître en finance (qui ne devrait plus être utilisé dans les

entreprises en ce début de 21ème siècle mais qui l'est malheureusement encore en majorité...)

et nous réutiliserons donc ces démarches lors de notre introduction au modèle de Black &

Scholes.

Enfin, il convient de préciser que c'est un modèle théorique! Il faut donc le confronter à la

pratique pour voir s'il est valide ou non. En l'occurrence l'observation des marchés financiers

montre que ce n'est le cas que hors des bulles spéculatives que les variations peuvent être

modélisées par un mouvement brownien. Il faut donc chercher des modèles plus puissants et

nous verrons un jour que le mouvement brownien (appelé également "processus brownien") qui

est lisse (continu) et donc sans sauts brusques est un cas particulier des processus de Lévy.

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