Notes sur le module de glissement - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le module de glissement - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le module de glissement - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le principe de superposition des forces, le module de compressibilité.
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MODULE DE GLISSEMENT

La condition nécessaire pour qu'un solide rigide soit en équilibre statique est comme nous

l'avons vu dans le chapitre de Mécanique Classique, que la résultante des forces que l'extérieur

exerce sur le corps soit nul:

(34.21)

Cependant, quand un solide subit des contraintes et qu'il peut en subir, il peut y avoir

déformation qui peut être suivie d'une rupture ou d'une modification similaire. Plus,

précisément, il y a "déformation" d'un corps (non nécessairement solide) quand les distances

entre certains points du corps ont changé.

Lorsque dans l'étude théorique de l'élasticité, nous excluons les modifications du corps étudié

telles que les ruptures, nous disons que nous nous restreignons aux "déformations élastiques".

La géométrie et la physique des déformations peuvent être complexes. Leur description se

déduit de celle d'un certain nombre de déformations élémentaires dont nous préciserons plus

loin les caractéristiques.

(34.22)

Les forces scalaires de contraintes de traction engendrent sur leurs faces respectives

des tensions "normales" (perpendiculaires donc!):

(34.23)

En admettant que la force agit seule, la déformation unitaire est par définition :

(34.24)

Lorsqu'un parallélépipède est soumis à un effort de traction , il y a intuitivement contraction

des dimensions dans la direction x. Contraction observable de façon tout aussi intuitive

pour .

Nous avons alors si agit seul:

(34.25)

où le signe "-" indique une contraction et où est un coefficient appelé "coefficient de

Poisson".

Si agit seule:

(34.26)

En acceptant le principe de superposition des forces, l'effet produit par plusieurs forces

agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des forces

superposées agissant séparément.

Ceci est admissible, étant donné la linéarité des équations unissant la déformation unitaire et la

tension normale. Nous obtenons alors:

(34.27)

En ayant procédé de manière identique pour les deux autres directions OY et OZ.

A partir des relations précédentes, il est aisé de trouver les équations unissant à :

(34.28)

Soit un matériau soumis à des contraintes diverses. A l'intérieur de celui-ci, nous opérons, par

la pensée, l'extraction d'un parallélépipède rectangle. Les faces de celui-ci sont sollicitées par

des contraintes normales et tangentielles (sur le schéma ci-dessous le solide est en

équilibre statique).

(34.29)

Les contraintes normales et de tangentielles représentent les actions du parallélépipède

de matériau ôté mentalement sur les faces de l'élément examiné.

Il est intéressant (dans le sens que cela facilite l'analyse) de rechercher les contraintes qui

existent dans un plan faisant un angle avec l'axe des x. Pour ce faire, nous imaginons un

triangle de matière ayant un angle au sommet enlevé hors de la matière mentalement. Nous

négligerons l'effet de la pesanteur.

Soit :

(34.30)

Posons:

(34.31)

et dz étant l'épaisseur du solide (non représenté sur le schéma précédent).

Sur la longueur ds, des contraintes apparaissent et se décomposent en contraintes

normale et tangentielles (dites de "contraintes cisaillement" ou de "contraintes flexion"

également) .

Le problème consiste à établir les relations entre et et .

Les conventions de signes sont :

- Les contraintes exerçant une traction sont positives alors que les tensions exerçant une

compression sont négatives.

- Les contraintes ayant tendance à faire tourner le parallélépipède dans le sens des aiguilles

d'une montre, sont positives. Dans le sens antihoraire, elles seront négatives.

L'équation d'équilibre de projection sur la direction ON est :

(34.32)

Rappelons que:

(34.33)

Comme et nous avons :

(34.34)

comme :

et (34.35)

alors :

(34.36)

Finalement :

(34.37)

Conclusion : En fonction de et , il est possible de calculer la tension normale qui

existe sur une surface plane quelconque d'angle .

L'équation d'équilibre de projection sur la direction de OT est:

(34.38)

comme alors finalement :

(34.39)

Conclusion : En fonction de et , il est possible de calculer la tension tangentielle

qui existe sur une surface plane quelconque d'angle .

Soit, à présent, la situation suivante:

(34.40)

Il s'agit d'un bloc de matière dont l'on extrait virtuellement un plan de forme carré que l'on va

étudier en prenant en première partie qu'un des triangles rectangle le composant pour ensuite

étudier l'ensemble.

Avant la sollicitation, nous considérons donc le losange abcd qui est en fait un carré

à suivant la direction OX.

Pendant la sollicitation, ce losange se déforme sous l'action des contraintes tangentielles

décomposées de contraintes de cisaillement pur et devient le losange a'b'c'd'. La

diagonale bd est alors étendue et la diagonale acest comprimée. L'angle en a qui

valait vaut après déformation (en a'). De même, l'angle en bqui valait vaut

à présent (Fig. A).

Remarque: L'angle est appelé "angle de glissement" et nous le considérerons comme faible.

Nous pouvons nous rendre compte de l'effet de la déformation en isolant le losange et en lui

faisant subir une rotation de . Après déformation, nous avons la forme indiquée par les

lignes en pointillées (Fig. B).

L'angle de glissement étant petit, nous avons :

(34.41)

Donc représente le glissement du coté ab par rapport à dc divisé par la distance entre les

deux plans ab etdc. L'analyse qui vient d'être effectuée reste valable quel que soit le corps

solide ou liquide considéré.

Soit, à présent, le cas d'un solide élastique obéissant à la loi de Hooke. Le problème va

consister à établir la relation entre l'angle de glissement et les contraintes

tangentielles agissant sur les cotés du losange.

Soit le triangle rectangle oab. L'allongement du coté et le raccourcissement du

coté oa pendant la déformation s'obtiennent à partir des équations suivantes :

(34.42)

Comme:

(34.43)

Nous avons :

et (34.44)

Donc :

(34.45)

donc la longueur oa' diminue si augmente .

(34.46)

donc ob' augmente si augmente.

Pour l'angle triangle rectangle oa'b', nous avons :

(34.47)

Or:

(34.48)

Comme ( est petit) nous avons :

(34.49)

Soit:

(34.50)

Finalement nous avons la relation donnant le "module de glissement", ou "module de Coulomb",

que nous avions donné plus haut sans démonstration :

(34.51)

MODULE DE COMPRESSIBILITÉ

Nous reste encore à voir la provenance mathématique de l'expression d'un autre module tout

aussi important que le module en cisaillement: le module de compressibilité .

Soit les équations déterminées dans l'étude précédente:

(34.52)

Si les forces appliquées sur le cube sont égales en intensité nous avons:

(34.53)

Ce qui nous donne:

(34.54)

En sommant les termes selon le principe de superposition linéaire des forces:

(34.55)

Or:

(34.56)

Finalement:

(34.57)

ce que nous notons également:

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