Notes sur le module de glissement - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le module de glissement - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le module de glissement - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le module de flexion, les ondes transervsales dans les solides.
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(34.58)

ou encore:

(34.59)

avec étant par définition le "coefficient de compressibilité".

MODULE DE FLEXION

Pour l'étude du module de flexion considérons la situation ci-dessous:

(34.60)

La figure de gauche ci-dessus représente un matériau à l'état statique. La figure de droite

représente le même matériau mais soumis à un moment de force couplé M.

Comme le matériau subit à sa surface à la fois une compression et à l'opposé une tension, il

doit donc exister une frontière (une ligne ou un plan) ou aucune contrainte n'existe. Cette ligne

ou ce plan (c'est rare que nous ayons affaire à un matériau ayant uniquement deux

dimensions…) est appelé "plan neutre". Ce plan neutre va nous servir de référence pour définir

la contrainte de flexion.

Maintenant que ce plan est défini, considérons les figures ci-dessous:

(34.61)

Soir R le rayon de courbure de la barre (cylindre, plaque, parallélépipède, …). La déformation

sur le segment est définie par la relation:

(34.62)

Les longueurs mn et ij sont définies par:

(34.63)

et la longueur par:

(34.64)

ainsi l'expression de la déformation devient:

(34.65)

ce qui indique que la déformation varie de façon linéaire avec y.

Nous pouvons définir le module de flexion par:

(34.66)

Considérons l'état statique de la barre. La somme des contraintes de traction et compression

sont alors nulles. Effectivement, nous le voyons bien si nous considérons le schéma ci-dessous:

(34.67)

Considérons la force agissante sur un élément de surface dS. Nous pouvons considérer

l'équilibre des forces à l'état statique tel que:

(34.68)

En substituant l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

(34.69)

En supposant linéaire la caractéristique de contrainte en première approximation donc .

En simplifiant un tant soit peu:

(34.70)

Si nous multiplions l'intégrale par alors la relation doit être égale au moment de

force appliqué tel que:

(34.71)

En substituant par l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

(34.72)

Ce qui nous amène à définir le terme:

(34.73)

que les ingénieurs nomment le "moment d'inertie de la barre par rapport au plan neutral" ou

encore "moment d'inertie statique". Ce terme représente une mesure de la rigidité de la section

transversale de la barre d'un point de vue géométrique, sans considérations des propriétés

matérielles.

Substituant cette relation dans l'équation de contrainte de flexion, nous obtenons le "module de

flexion":

(34.74)

La difficulté pour l'ingénieur consiste souvent à localiser mathématiquement le plan neutral...

ONDES TRANSERVSALES DANS LES SOLIDES

Les ondes sonores transversales ou "ondes S" (ondes de cisaillement) ne se produisent que dans

les solides. Les couches successives du milieu se déplacent latéralement sans qu'il y ait de

changement de volume, de densité ou de pression:

(34.75)

Le milieu se déforme de la même manière que vous pouvez déformer un livre ou une rame de

papier posés à plat en poussant le haut horizontalement. Ni le livre, ni la rame ne changent de

volume.

L'obtention de l'équation d'onde pour des ondes transversales est presque la même que pour

une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Prenons trois minces couches planes

contiguës du milieu (voir figure ci-dessous):

(34.76)

Les centres des couches se situent en avec:

(34.77)

Le déplacement transversal des trois couches adjacentes est . L'angle de déformation

entre le couche bet la couche a est au première ordre en approximation de Taylor (cf. chapitre

sur les Suites et Séries):

(34.78)

Si nous calculons les forces entre les couches pour un morceau de couche de surface S, nous

obtenons:

(34.79)

où G est le module de glissement du milieu. La résultante des forces est alors:

(34.80)

La force de la tranche sera égale à tout moment au produit de la masse du morceau de

couche b, d'épaisseurdx, surface S et densité , multipliée par l'accélération de la couche:

(34.81)

Nous avons alors:

(34.82)

et:

(34.83)

Ce qui donne:

(34.84)

Ce que nous venons de déduire pour une valeur quelconque , est aussi vrai pour n'importe

quelle coordonnée:

(34.85)

et la vitesse de propagation des ondes transversales est donc:

(34.86)

Le rapport a les unités du carré d'une vitesse:

(34.87)

Il s'agit donc d'une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus

particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

(34.88)

avec:

(34.89)

Les ondes transversales ne se propagent que dans les solides et de ce fait nous ne pouvons pas

les entendre à moins de les transformer en ondes longitudinales par des moyens mécaniques

ou électriques. Les ondes transversales peuvent se transmettre le long d'une barre ou d'une tige

quelconque ou même d'un fil métallique, et ceci sans besoin que ce dernier soit sous tension.

Même si le fil métallique est sous tension, la vitesse des ondes de cisaillement ne dépend pas

de la tension. C'est le module de cisaillement élevé de l'acier qui donne aux guitares électriques

ce bruit caractéristique.

Un autre cas remarquable des ondes transversales (de cisaillement) est celui des ondes

sismiques. On y trouve des ondes sismiques de cisaillement et aussi des ondes longitudinales

ou de pression. Les ondes de cisaillement se propagent dans la croûte terrestre

à et les ondes de pression à . Lors d'un séisme ou d'une

explosion atomique, les deux types d'onde seront produits mais comme les ondes se propagent

à des vitesses différentes, elles n'arriveront pas en même temps à des stations de détection

lointaines. C'est à partir de cette différence des temps d'arrivée que l'on déterminer la distance

à l'épicentre. La direction est obtenue à partir de la direction des oscillations. Seules les stations

suffisamment éloignées pour recevoir les deux types d'onde séparément peuvent faire la

détermination de l'épicentre.

Pour résumer, nous avons pour les ondes longitudinales dans un solide (cf. chapitre de Musique

Mathématique):

(34.90)

et pour les ondes transversales:

(34.91)

Pour les détails des développements mathématiques concernant les gaz et les solides, le lecteur

devra se rendre dans le chapitre de Musique Mathématique (Acoustique).

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