Notes sur le moment cinétique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le moment cinétique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le moment cinétique - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:le moment cinétique,L'utilisation du moment cinétique,le moment de force.
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MOMENT CINÉTIQUE

Définition: Le "moment cinétique" ou "moment angulaire" par rapport à un point O d'une

particule de masse m se déplaçant à la vitesse en est défini par :

(30.84)

avec étant la quantité de mouvement (voir la définition plus loin) donnée par :

(30.85)

Par sa définition, le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les

vecteurs et et si la particule se déplace dans un plan, la direction de est constante mais

pas nécessairement de même direction.

Un cas particulier mais important en mécanique et astronomie du calcul du moment cinétique

est le mouvement circulaire (plan) de rayon r. Dans cette situation, le "rayon-vecteur" est

alors toujours perpendiculaire à la direction du vecteur-vitesse et donc:

(30.86)

Nous voyons apparaître ici la définition du "vecteur rotation" également noté parfois (à

tort) .

Pour un mouvement plan mais non circulaire (comme une conique par exemple!), nous

introduisons les composantes normale et tangentielle de la vitesse:

(30.87)

pour obtenir (de par les propriétés du produit vectoriel):

(30.88)

et sous forme scalaire:

(30.89)

où r est dès lors appelé le "rayon de courbure" de la trajectoire.

Etudions maintenant la dérivée du moment cinétique:

(30.90)

Dans le membre de droite, nous avons de par la définition du produit vectoriel:

(30.91)

et d'autre part:

(30.92)

Ce qui nous donne finalement:

(30.93)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un mobile ponctuel est donc égal à ce

que nous définissons par le "moment de force" sur lequel nous reviendrons plus loin et qui

a comme unités celle de l'énergie et est un vecteur perpendiculaire au plan formé par et

(par construction du produit vectoriel!).

Remarques:

R1. Cette dernière relation fait que nous appelons parfois le moment cinétique aussi "moment de

la quantité de mouvement".

R2. Il faut bien sûr prendre garde au fait que (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) .

Ce qui est fortement impressionnant dans ce résultat (variation instantanée du moment

cinétique), est que tout corps ayant un moment cinétique non nul et soumis à aucun moment

de force, conserve l'orientation et la norme de dans l'espace et le temps. Ce résultat nous

permet de comprendre la dynamique du gyroscope et tous les autres corps ayant des propriétés

similaires (comme la Terre qui tourne sur elle-même et qui pointe toujours sur l'étoile polaire

ce qui est à l'origine des saisons!). Nous étudierons plus loin le gyroscope et ses propriétés, car

son comportement est fascinant et les résultats théoriques en découlant trouvent des

applications en astrophysique et physique atomique.

Nous avons également :

(30.94)

où l'intégrale s'appelle "l'impulsion de rotation" et la relation précédente porte quelquefois le

nom de "théorème du moment cinétique" (nous verrons une généralisation de ce théorème lors

de la démonstration du théorème de König). Il s'énonce ainsi :

L'impulsion de rotation fournie par un moment de force entre les instants et est égale à la

variation du moment cinétique durant cet intervalle de temps.

En dynamique du solide ce théorème joue un rôle fondamental, analogue à l'équation de

Newton en dynamique du point.

L'utilisation du moment cinétique permet de montrer facilement la loi des aires (deuxième loi

de Kepler), qui joue un rôle important dans la compréhension du mouvement des planètes (cf.

chapitre d'Astronomie) ou encore de montrer que dans un système Terre-Lune isolé, le moment

cinétique totale devant être conservé, si la Terre ralenti sa rotation et la lune la garde constante,

cela oblige la Lune à augmenter sa distance par rapport à la Terre.

Voyons cela:

Imaginons une particule en mouvement sous l'action d'une force constamment parallèle à

. Nous dirons que cette force est une "force centrale" si sa direction passe constamment par un

même point fixe, appelé le "centre de force". La grandeur de la force ne peut donc plus

dépendre que de la distance au centre de la force (dans le cas d'un champ de force).

Dès lors:

(30.95)

Donc le moment cinétique par rapport au centre de force est constant si la force est centrale. La

réciproque est aussi vraie: si le moment cinétique est constant, sa dérivée par rapport au temps

est nulle et la direction de la force est toujours colinéaire à donc la force est centrale.

Par exemple, dans le cadre du mouvement d'une planète autour du Soleil ou d'un électron

autour du noyau de l'atome (dans le cadre du modèle de Bohr) le moment de cette force par

rapport au centre est évidemment nul puisque qu'aucun élément extérieur n'agit sur le système,

c'est-à-dire en se basant sur le schéma ci-dessous :

(30.96)

nous avons alors :

(30.97)

donc:

(30.98)

D'autre part, l'élément de surface décrit par le mouvement du rayon vaut (selon la figure

ci-dessus et la propriété du produit vectoriel):

(30.99)

donc:

(30.100)

En utilisant la relation nous obtenons:

(30.101)

Conséquences:

1. La vitesse aréolaire est constante, c'est-à-dire que les aires balayées en des temps égaux

sont égales. C'est la loi des aires de Kepler (cf. chapitre d'Astronomie)!

2. Le plan est fixe car . Donc la trajectoire, d'une planète dans un cadre idéal

par exemple, est plane.

MOMENT DE FORCE

Nous venons de voir que le "moment de force" se définissait par la relation (variation temporelle

du moment cinétique) :

(30.102)

où est donc le moment de la force par rapport au point d'origine du vecteur . Il est

important de remarquer que le moment de force à les unités d'une énergie est donc

perpendiculaire à et par construction!

Il faut aussi remarquer qu'augmenter le rayon d'application en diminuant ainsi la force pour

garder un moment de force constant dans un système mécanique permet certes de diminuer

l'effort (la force) mais au final pas l'énergie dépensée puisque la distance parcourue est alors

plus grande.

Si nous exprimons le module de , de part la définition du produit vectoriel, nous obtenons :

(30.103)

Il apparaît une grandeur :

(30.104)

qui est par définition le "bras de levier" de la force et dont l'emplacement est donné par l'axe

de rotation du corps du au moment de force résultant.

Exemples:

(30.105)

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