Notes sur le moment cinétique - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le moment cinétique - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le moment cinétique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la statique des forces, la démonstration.
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Pour qu'un point matériel, soumis à des forces soit en équilibre, il faut ainsi que la

résultante de ces forces soit nulle (pas de translation) et que la résultante des moments soit nul

aussi (pas de rotation). Soit :

et (30.106)

Par définition, un "couple" est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale

mais de direction opposée, agissant suivant deux droites parallèles sur un même corps étendu.

La résultante des forces est bien évidemment nulle, indique que le couple ne produit aucun

effet de translation. Mais la somme des moments étant non nulle, le corps subit une rotation tel

que :

(30.107)

Maintenant que nous avons convenablement défini ce qu'était une force et un moment de force,

nous pouvons aborder l'étude de la statique des forces de suite :

STATIQUE DES FORCES

La statique des forces est un domaine difficile à généraliser. La plupart des ouvrages se servent

de nombreux exemples (comme les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres, les

frottements, etc.) afin d'amener le lecteur à assimiler la méthode d'analyse qu'il faut pour

résoudre les problèmes relatifs à ce domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre cette

méthode, nous n'avons pas souhaité nous restreindre ou nous étendre (suivant les points de

vue) à des exemples particuliers, mais à proposer une méthode d'analyse qui fonctionnerait à

coup sûr.

Définitions:

D1. La "statique des forces" est le domaine de la physique qui étudie l'effet de la résultante de

forces (ou moments de force) constantes au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel

ou étendu.

D2. Quand la somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est nul, il n'y a aucun

mouvement. Nous parlons alors d'un "équilibre statique" (mais les forces existent tout de

même à l'intérieur du système) tel que les forces et moments de forces se compensent

mutuellement :

ou/et (30.108)

Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce n'est pas parce qu'un système

est à l'équilibre statique qu'il n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces peut

s'annuler mais les forces sont non nulles).

Corollaires :

C1. Lors de l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours (!!!) travailler avec les

composantes vectorielles des forces et moments de forces (de par la première loi de Newton).

C2. Il faut donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimés toutes les

composantes de forces :

- Dans le cas d'un corps ponctuel sur lequel sont appliqué des forces, il faut assimiler l'origine

du repère à la position du point.

- Si les lignes de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu sont toutes

concurrentes en un point donné, le système peut être considéré comme un corps ponctuel

ramené à ce point

- Si le corps est étendu et plongé dans un champ de forces (gravitationnel, électrostatique,

magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le temps, l'ensemble des forces imprimées

peut se rapporter au centre de gravité

Démonstration:

Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que la somme

des vecteurs d'un même ensemble, mis bout à bout (au niveau de la représentation imagée) ou

additionnés algébriquement constitue ce que nous appelons la "résultante" du système de

forces ou de moments de force :

ou/et (30.109)

Il est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état statique si la résultante des forces

concurrentes est nulle. Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle) si la

grandeur est nulle (voir les lois de Newton plus loin).

Cette condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu (non ponctuel) : celui-ci peut ne

pas se déplacer (pas de mouvement par translation), mais tourner sur lui même par application

de forces en dehors de son centre de gravité (les forces sont alors des moments de forces

agissant sur des points du corps en question).

Imaginons maintenant un ensemble de forces , chacune d'elles appliquée en un point de

vecteur-position d'un mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune donnée,

repérée par un vecteur unitaire . La résultante des ces forces est alors :

(30.110)

Remarque: La norme de la résultante est donc :

(30.111)

De manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles s'écrit :

(30.112)

Recherchons maintenant, la position d'un point fictif C, appelé le "centre des forces" tel que

le moment de la résultante appliquée au point C soit égal au moment total . En d'autres

termes, doit être la solution de l'équation vectorielle :

(30.113)

S'il est possible de trouver un tel point C, nous ne devons donc plus, en principe, calculer le

moment individuel de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit plutôt, de

déterminer la résultante et d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.

En combinant les relations précédentes, nous avons :

(30.114)

À son tour, le vecteur peut être substitué tel que :

(30.115)

d'où nous tirons finalement :

(30.116)

comme (deuxième loi de newton) supposons maintenant (car particulier)

que nous pouvons alors écrire ce résultat très important :

(30.117)

C.Q.F.D.

C3. De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide en équilibre stable, en contact

avec un ensemble de corps solides rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une

force égale identique en chaque point de contact (identiquement répartie) mais opposée par ces

derniers (assimilable et passant par leur centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs

isotrope et constant qui est à l'origine du contact). Ainsi :

- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur les différents points de

contact lorsque ce sont une quantité dénombrable de forces qui en sont à l'origine.

- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés le centre de masse ou de gravité si

les forces à l'origine du contact (in extenso : de l'accélération) sont à l'origine d'un champ

vectoriel gravifique, respectivement électrostatique/magnétique.

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