Notes sur le moment cinétique et spin - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le moment cinétique et spin - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le moment cinétique et spin - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique, les développements.
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MOMENT CINÉTIQUE ET SPIN

Tout comme l'oscillateur harmonique, la notion de moment cinétique (ou moment angulaire)

est d'une importance capitale en théorie quantique et possède des applications nombreuses

dans tous les domaines de la physique : physique atomique et moléculaire, physique nucléaire

et sub-nucléaire, physique de l'état condensé, etc. Ainsi, il joue un rôle essentiel dans l'étude

du mouvement d'une particule dans un potentiel à symétrie sphérique, comme nous le verrons

en chimie quantique (qui en est un excellent exemple pratique). Le moment cinétique est

également à la base du groupe des rotations qui satisfait à l'algèbre des opérateurs de moment

cinétique (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). De ce fait, il permet non seulement de construire

la fonction d'onde d'un système quantique de symétrie donnée, mais aussi de prédire si une

transition optique est permise et d'en déterminer son intensité (par exemple, lors de l'étude des

transitions optiques entre états d'impureté (en état solide), états moléculaires (chimie

quantique), en physique nucléaire, etc.).

Enfin, nous verrons que la méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique nous

permettra d'introduire tout naturellement la notion de moment cinétique intrinsèque d'une

particule, le "spin", qui n'a pas d'équivalent classique.

Les développements qui vont suivre peuvent paraître assez déconcertent dans le sens qu'il ne

faut plus du tout se fier à l'intuition mais uniquement aux propriétés et résultats des

mathématiques. Comme d'habitude, si vous avez besoin de compléments d'informations

n'hésitez pas à nous contacter.

Ainsi, rappelons que le moment cinétique d'une particule par rapport à l'origine est donné par

(cf. chapitre de Mécanique Classique) :

(42.1)

La quantité de mouvement étant quantifiée (c'est une valeur propre rattachée à la l'énergie

d'une façon ou d'une autre), le moment cinétique l'est nécessairement aussi (le moment

cinétique est donc aussi une valeur propre) et l'expérience a appuyé ce résultat (Stern-Gerlach).

Soit la composante en z du produit vectoriel résultant:

(42.2)

(cycl.)

Cette relation étant cyclique, nous pouvons changer les indices pour obtenir les autres

coordonnées.

Comme x et y commutent (dans le sens que leur commutateur est nul) et que nous avons

démontré :

(42.3)

nous avons alors :

(42.4)

Ce qui donne :

(42.5)

(cycl.)

En utilisant le gradient (nous retrouverons cette relation dans le chapitre de Physique Quantique

Relativiste lors de notre étude de l'équation de Pauli!!):

(42.6)

et en posant pour "l'opérateur du moment cinétique" :

(42.7)

Ce qui nous amène à écrire:

(42.8)

Avec :

(42.9)

Remarque: Le plus souvent dans la littérature le moment cinétique est noté (nous avions déjà

fait cette remarque dans le chapitre de Mécanique Classique) mais nous avons évité cette

notation ici afin de différencier le moment cinétique orbital et le moment cinétique orbital total.

Nous allons établir certaines relations de commutation concernant qui joueront un rôle

essentiel dans l'étude du spin. En faisant usage des relations (démontrées lors de notre étude

des principes d'incertitudes) :

(cycl.) et (42.10)

(cycl.)

Nous avons la relation (il est de tradition de faire l'analyse sur la composante la projection

de en z):

(42.11)

Donc :

(42.12)

(cycl.)

et en procédant de la même manière:

(cycl.) et (cycl.) (42.13)

Remarque: Nous trouvons des relations analogues avec la quantité de mouvement:

(42.14)

Évaluons maintenant la quantité:

(42.15)

soit après simplification (c'est assez embêtant pour l'expérience que cela ne commute pas) :

(42.16)

(cycl.)

par ailleurs, à ce stade, si le lecteur à déjà parcouru au préalable le chapitre de Calcul Spinoriel

il remarquera que les matrices de Pauli satisfont aux relations précédentes si nous nous

mettons en unités naturelles (la constante de Planck réduite valant alors 1) :

Ce constat sera utile pour notre étude de la physique quantique relativiste (voir chapitre du

même nom). Effectivement, nous savons de par notre étude du calcul spinoriel (cf. chapitre de

Calcul Spinoriel) que le groupe des matrices 2 par 2 complexes unitaires de déterminant 1 dont

les matrices Pauli sont les générateurs forme un groupe des rotations dans l'espace SU(2).

Fondamentalement, l'origine du spin vient du lien qui existe entre SU(2) et le groupe des

rotations de notre espace ordinaire, SO(3) (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Maintenant, considérons la norme :

(42.17)

Etudions son commutateur avec une composante:

(42.18)

en utilisant la relation cyclique :

(42.19)

Donc nous avons enfin quelque chose d'intéressant qui commute :

(42.20)

(cycl.)

Conclusions des résultats obtenus jusqu'à maintenant : comme le commutateur est nul (les

quantités commutent) il est donc possible de mesurer simultanément avec précision une

composante ainsi que le carré du moment cinétique (sa norme au carré), mais il est impossible

de faire la même chose pour deux composantes !

Notons enfin que la relation que peut s'écrire :

(42.21)

et donc d'une façon un peu curieuse:

(42.22)

Si nous avons un système de particules numérotées par l'indice k, chacune a un moment

cinétique individuel et le moment cinétique orbital total du système (ne pas

confondre la notation avec le Lagrangien !!!), est défini par (en unitées naturelles ) :

(42.23)

Mais n'est pas encore le moment cinétique total du système; un particule peut posséder un

moment cinétique intrinsèque, ou "spin". Nous pouvons donner une image simple du spin en

disant qu'il traduit une rotation de la particule sur elle-même (attention !!! ce n'est qu'une

image car au fait la particule ne tourne pas sur elle-même !). Nous noterons le moment

cinétique de spin de la k-ème particule (en unité naturelles ) et la relation :

(42.24)

sera le spin total et enfin :

(42.25)

sera le moment cinétique total du système (ne pas confondre la notation avec le moment

cinétique orbital ou la densité de courant !!!) et nous démontrerons lors de notre étude du

couplage spin-orbite que ce moment cinétique est une constante du mouvement en présence

de ce couplage.

Nous allons supposer (mais c'est facile à démontrer une fois, entre autre, les spineurs connus)

que chaque et obéit aussi aux lois de commutation vues précédemment :

(cycl.) et (cycl.) (42.26)

Ce qui s'écrit sous forme tensorielle en utilisant le symbole de Levi-Civita (cf. chapitre de Calcul

Tensoriel) :

et (42.27)

Ce qui entraîne (aussi) :

(42.28)

(cycl.)

avec bien évidemment la relation:

appelée par les mathématiciens "élément de casimir" (un simple développement parfaitement

similaire à celui obtenu plus haut suffit à la démontrer).

Définissons maintenant de façon purement formelle l'opérateur non hermitique (les matrices de

Pauli satisfont toujours à ces relations!):

(42.29)

commutent avec , puisque celui-ci commute avec et . Ce qui nous permet

d'écrire le produit :

(42.30)

Par ailleurs:

(42.31)

Donc:

(42.32)

De même:

(42.33)

Enfin, évaluons les produits et :

(42.34)

De même:

(42.35)

Puisque les deux opérateurs hermitiques et commutent ils ont donc des états et

valeurs propres communes et, plus précisément, ils ont une base propre complète commune.

Lorsque des observables commutent et ont une base propre commune, rappelons que nous

avons pour habitude de parler d'un "ECOC" (Ensemble Complet d'Opérateurs qui Commutent).

Pour étudier leur état propre posons:

(42.36)

Les valeurs propres K et M (appartenant à , la valeur nulle y comprise donc comme nous

allons le voir un peu plus loin !) ne sont pas indépendantes puisque nous avons:

(42.37)

La moyenne étant notée par les crochets , nous avons:

(42.38)

Ce qui peut s'écrire:

(42.39)

Nous voyons que le membre de gauche de la relation ci-dessus est égal à:

(42.40)

Par ailleurs nous avons vu lors de l'étude des représentatives avec le formalisme de Dirac que:

(42.41)

Cette dernière relation implique donc que:

(42.42)

Ce qui apporte les informations suivantes:

(42.43)

C'est de la relation ci-dessus que nous voyons que:

(42.44)

La valeur nulle y compris donc! Ce dernier point fait exception avec les nombres quantiques

radials et azimutal que nous avions par exemple en physique quantique corpusculaire (cf.

chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

A partir de , nous bâtissons l'état , nous allons montrer que si cet état n'est pas

identiquement nul, il est état propre de et de . De la relation:

(42.45)

déjà démontrée précédemment, nous posons:

(42.46)

commutent avec , puisque celui-ci commute avec et . Ce qui nous donne que la

relation précédente est nulle telle que:

(42.47)

De la relation nous posons de façon identique:

(42.48)

Toujours avec:

(42.49)

Nous avons finalement le paquet de relations:

(42.50)

Donc et sont identiquement nuls ou et sont des états propre

de pour la valeur propre K, et de pour la valeur propre .

Puisque le moment cinétique est quantifié, ses valeurs propres doivent donc avoir un minimum

et un maximum avec pour chacune la fonction propre associée.

Posons que M ' et sont la valeur et fonction propre associée minimale et m'' et la

valeur et fonction propre maximale.

Etant donné les trois relations:

, , (42.51)

Nous écrivons:

(42.52)

Ce qui intuitivement n'est pas évident à poser mais qui mathématiquement est tout à fait

justifiable.

A partir des deux dernières relations ci-dessus, nous pouvons écrire:

(42.53)

soit:

(42.54)

M ' étant le maximum, M '' le minimum d'un même ensemble, nous avons:

(42.55)

Ce qui nous donne:

(42.56)

Appelons J la valeur m' (qui correspond à la valeur propre de la quantité )

puisque nous avons:

(42.57)

donc:

(42.58)

qui est un nombre entier positif ou nul.

Conclusion : Comme 2J est un nombre entier positif ou nul, cela implique que J ne peut être

qu'un nombre entier, demi-entier ou nul tel que :

(42.59)

Enfin, comme:

et (42.60)

Donc:

et (42.61)

Donc finalement:

(42.62)

Ce qui nous donne puisque et (les notations se mélangent un peu...):

(42.63)

Sous forme plus explicite et moins confuse:

(42.64)

et définitive, en multipliant à gauche et à droit par , nous avons pour la composante verticale

du moment cinétique, la valeur :

(42.65)

Comme et si la particule n'a pas de spin ( ) alors nous avons :

(42.66)

Si nous avons qu'une seule particule alors :

(42.67)

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