Notes sur le moment cinétique et spin - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le moment cinétique et spin - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le moment cinétique et spin - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la classification des électrons atomiques, le couplage spin-orbite, les remarques.
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Donc le moment cinétique s'écrit en se rappelant (cf. chapitre de Physique Quantique

Corpusculaire) que l est quantifié :

(42.68)

Si nous avons , alors dans ce cas :

(42.69)

Nous retrouvons donc le résultat obtenu au début de notre étude du moment cinétique.

Grossièrement, si nous posons maintenant , nous retrouvons à partir du modèle

ondulatoire l'hypothèse de quantification du moment cinétique postulée par Bohr vue dans le

chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Remarque: Rappelons que réellement

Cette constatation justifie maintenant physiquement l'utilisation du nombre quantique l dans

l'utilisation du tableau périodique des éléments tel que nous l'avions vu et défini (sans aucune

justification réelle) dans le chapitre précédent.

Le moment cinétique total vaut donc approximativement :

(42.70)

Par analogie (c'est vraiment une analogie douteuse...), nous pouvons écrire :

(42.71)

Mais comme le spin peut avoir que deux orientations possibles, les valeurs de j seront :

(42.72)

D'où une classification possible des électrons atomiques tenant compte de leur spin :

Type d'orbitale spdf

l 0 1 2 3

j

notation

Tableau: 42.1- Types d'orbitales et spin

etc... Soit sous forme schématique avec les niveaux d'énergie correspondants:

(42.73)

Ce tableau nous amène à constater que nous pouvons finalement écrire :

(42.74)

Pour revenir à des considérations plus pratiques... nous avons finalement obtenu pour la norme

du moment cinétique total (dans le cas d'une particule seule et sans spin):

(42.75)

où l est une entier. Nous savons également du chapitre de Physique Quantique Corpusculaire

que le moment magnétique est lui donné par:

(42.76)

et que le nombre quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique sont d'une

certaine manière indissociables.

De la même manière nous obtenons:

(42.77)

où nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste que s ne peut prendre que

les valeurs:

(42.78)

pour une particule de type proton, neutron ou électron.

Maintenant, ce que nous savons de nos résultats obtenus dans le chapitre de Physique

Quantique Corpusculaire c'est que lorsque l vaut 1 nous avons le moment magnétique qui peut

prendre trois valeurs différentes suivant si un champ magnétique est appliqué ou non:

(42.79)

A ce moment, bien que la norme du moment cinétique total reste constante (car conservative).

Ses composantes doivent forcément changer. Comme nous ne pouvons connaître qu'une seule

des composantes du moment cinétique en connaissant sa norme (opérateurs commutant) nous

choisissons de nous intéresser par convention à .

Nous choisissons un référentiel tel qu'un des composantes soit nulle (c'est toujours possible). Il

suffit ensuite dans ce référentiel X,Z plan d'avoir la norme de J qui vaut pour :

(42.80)

et idem avec S:

(42.81)

Il y a alors trois possibilités si une des composantes est toujours nulle c'est que nous ayons:

(42.82)

Ce que nous pouvons aussi écrire:

(42.83)

Ce que les physiciens aiment bien représenter de manière très simplifiée par le schéma suivant:

(42.84)

De la même façon avec le spin nous pouvons écrire:

(42.85)

Ce que les physiciens aiment aussi bien représenter de manière très simplifiée par le schéma

suivant:

(42.86)

Nous avons donc les seuls éléments variables mesurables expérimentalement qui sont:

et (42.87)

qui sont donc des observables discrets (bivalué en ce qui concerne donc le spin).

Donc en appliquant un champ magnétique, l'hamiltonien de Pauli (cf. chapitre de Physique

Quantique Relativiste) prendra des sauts équivalents à la relation :

(42.88)

Ce résultat signifie que les niveaux d'énergie pour une énergie donnée (couche n) sont séparés

en plusieurs niveaux distants de quand l'atome est placé dans un champ magnétique.

Ce résultat et l'effet Zeeman dont nous avons parlé plusieurs fois.

Tout cela permet de mieux comprendre l'origine mathématique des 4 nombres quantiques

(nombre quantique principal, nombre quantique secondaire ou azimutal, nombre quantique

magnétique, spin):

(42.89)

notés aussi (puisque dans le cas particulier des particules étudiées sur ce site le nombre

quantique magnétique de spin à la même valeur que le spin):

(42.90)

COUPLAGE SPIN-ORBITE

Nous avions fait remarquer dans le chapitre de physique quantique corpusculaire que quand

nous analysons à haute résolution les raies spectrales de l'hydrogène en l'absence d'un

quelconque champ extérieur, nous voyons qu'elles sont en fait constituées de doublets très

serrés, séparés de . Ce phénomène étant du à un soit disant couplage spin-orbite. Il

est temps maintenant de voir d'où cela vient. Rappelons que nous avons obtenu précédemment

:

(42.91)

Dès lors, la norme (ce qui est mesuré) nous amène à écrire :

(42.92)

ce qui nous donne après regroupement :

(42.93)

Le terme est appelé "couplage spin-orbite". C'est lui qui lors des mesures très précises

fait apparaître un dédoublement des raies du au couplage entre le spin de l'électron et le

moment cinétique orbital (ce n'est pas car ce terme est toujours positif).

Remarque: Lorsque nous avons deux corps en interaction le moment cinétique total est une

constante du mouvement. Il peut donc y avoir un transfert de moment cinétique entre ces deux

corps (c'est le couplage spin-orbite). L'un perd du moment l'autre en gagne. A noter qu'un corps

étendu possède un moment cinétique de rotation autour d'un point et un moment cinétique de

rotation sur soi-même. C'est ce dernier que nous appelons par une analogie abusive : le spin.

L'écart mesuré est donc attribué à l'interaction du spin de l'électron avec son moment orbital.

L'électron tourne autour du noyau, mais si nous nous plaçons sur l'électron nous voyons le

noyau tourner (sur la Terre le soleil tourne autour de la Terre !). Tout se passe comme si le

noyau créait un champ magnétique au niveau de l'électron, et ce champ interagit avec le

moment magnétique de l'électron, le spin, et ceci différemment selon que le spin est dans le

sens du champ ou opposé, c'est cette différence qui ajoute ou retranche un peu d'énergie au

niveau.

Voici un schéma qui résume le tout :

(42.94)

Montrons de fait que tel que défini, est une constante du mouvement. Nous avons (inutile de

préciser qu'en mettant au carré, il s'agit des composantes du vecteur que nous mettons au

carré et non le vecteur lui-même!) :

(42.95)

d'où :

(42.96)

Faisons le développement pour une composante :

(42.97)

Or, par définition (de notation) donc :

(42.98)

Or, nous savons que (car un opérateur commute toujours avec lui-même) et en ce

qui concerne , nous en avons fait mention dans le chapitre de calcul spinoriel (cf.

chapitre de Calcul Spinoriel) et nous le démontrerons dans le cadre de l'étude de l'équation de

Dirac libre classique (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste), que le spin est totalement

décrit par les matrices de Pauli qui sont des opérateurs linéaires. Ecrivons alors à un facteur

constant près (dont nous devrons encore déterminer l'expression) :

(42.99)

et nous verrons que cela est bien conforme à l'équation de Pauli que nous verrons dans le

chapitre de Physique Quantique Relativiste (et inversement)!!!

Donc en faisant abstraction de la constante multiplicative :

(42.100)

ce qui était de toute façon 100% prévisible puisque de toute façon, encore une fois, un même

opérateur commute toujours avec lui-même.

Donc finalement :

(42.101)

Dès lors :

(42.102)

d'où finalement :

(42.103)

est bien le moment cinétique total qui, même en présence d'interaction spin-orbite, est une

constante du mouvement (une obligation pour un système isolé).

Remarque: Une autre manière de lire la chose consiste à dire que la mesure sur un des éléments

du commutateur précédent adapte l'autre immédiatement pour que leur commutation soit nulle

donc par extension le moment cinétique total est une constante du mouvement.

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