Notes sur le mouvement brownien, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le mouvement brownien, Notes de Physique

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Notes de physique sur le mouvement brownien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: qu'est-ce que le mouvement brownien? L'origine du mouvement, la relation, l'équation.
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Le mouvement brownien est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une petite

impureté organique ou non immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction

que des chocs avec les petites molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très

irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste

Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen:

(32.157) Source: Wikipedia

L'origine du mouvement dû aux molécules n'était pas du tout évident au début du 19ème siècle car:

1. Il n'était pas encore communément admis que la matière était simplement discontinue et donc

composée de molécules.

2. On ne comprenait pas même en admettant l'aspect moléculaire de la matière que quelques

molécules soient capables de déplacer des impuretés plusieurs millions de fois plus grande que

celles des molécules du fluide.

3. Même si on admettait l'aspect moléculaire, on ne comprenait pas qu'une très grande quantité de

chocs de milliards de molécules ne s'annulent pas entre eux et que l'impureté soit finalement

immobile (on verra que cela est dû au fait que la matière n'est pas continue).

Le traitement mathématique du problème utilisant l'aspect moléculaire et statistique de la matière a

été une affirmation pour les scientifiques partisans de l'aspect atomique de la matière et ouvrit

encore une fois la porte au nouveau domaine de la mécanique statistique déjà un peu utilisée à

l'époque par Maxwell dans le cadre des gaz.

Comme toujours il existe plusieurs modèles mathématiques et suivant la tradition du site web nous

avons choisie la plus simple et... ce n'est pas celle d'Einstein mais de Langevin (effectuée deux ans

après dans un souci de simplification).

Le point de départ est le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique (cf. chapitre de Mécanique

des Milieux Continus):

(32.158)

soit pour une particule:

(32.159)

avec pour rappel v qui est la vitesse moyenne! Si nous simplifions l'analyse que dans un axe de

translation possible la relation devient (nous spécifions maintenant qu'il s'agit de la moyenne afin de

ne pas nous mélanger les pinceaux avec la suite):

(32.160)

En écrivant ceci nous stipulons donc qu'une particule en suspension dans un fluide en équilibre

thermique possède, dans la direction x par exemple une énergie cinétique moyenne égale à celle

d'une molécule gazeuse de nature quelconque, dans une direction donnée, à la même température.

Il s'agit donc à nouveau d'une identité forte entre les solutions diluées et le gaz parfaits.

Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport aux molécules du liquide, et se

mouvant à la vitesse v par rapport à celui-ci subit comme nous l'avons pseudo-démontré dans le

chapitre de Mécanique Des Milieux Continus (loi de Stokes) une résistance de:

(32.161)

où sera appelé "coefficient de friction" (correspondant donc à la viscosité).

Maintenant, écrivons selon l'équation de la dynamique de Newton (on ne spécifie plus que la vitesse

est selon x dans la notation qui suit):

(32.162)

la force complémentaire , introduite par Langevin, est aléatoire (stochastique). On sait à priori

peu de choses d'elle, si ce n'est qu'elle semble à priori indifféremment positive ou négative, et que

sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule, qui, sans elle, finirait par s'arrêter

sous l'effet de la résistance visqueuse.

L'équation précédente multipliée par x, peut s'écrire encore:

(32.163)

Or, rappelons que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(32.164)

d'où:

(32.165)

En établissant cette dernière relation, nous avons aussi montré que:

(32.166)

Nous pouvons alors écrire:

(32.167)

et aussi:

(32.168)

Si nous prenons la moyenne (nous changeons de notation pour la moyenne car la barre n'est pas très

adaptée esthétiquement parlant lorsqu'il y a des puissances):

(32.169)

Nous posons maintenant que:

(32.170)

en d'autres termes nous pouvons voir cela comme le travail moyen la force aléatoire est nulle.

Il reste alors:

(32.171)

Posons:

(32.172)

Nous avons alors:

(32.173)

Et comme:

(32.174)

Donc:

(32.175)

Soit autrement écrit:

(32.176)

Il s'agit donc d'une équation différentielle à coefficient constants d'ordre 1. Nous avons démontré

dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral la solution homogène était:

(32.177)

où la valeur de C nous importe peu car ce terme va de toute façon disparaître dans les

développements qui vont suivre. La solution particulière peut être déterminée simplement par la

contrainte au temps zéro:

(32.178)

Soit après dérivation et avoir posé donne:

(32.179)

Une solution triviale simple est alors:

(32.180)

Nous avons alors:

(32.181)

Or après très peu de temps le terme en exponentielle devient quasiment nul. Nous avons donc en

régiment permanent:

(32.182)

Soit:

(32.183)

où D est appelé "coefficient de diffusion" (comme en thermodynamique). Nous remarquons dès lors

que la position moyenne de la distance x parcourue est in extenso proportionnelle à la racine carrée

du temps.

La relation:

(32.184)

est parfois appelée "relation de Sutherland-Einstein" (car William Sutherland l'a découvert en

Australie pratiquement au moment où Einstein écrivait cette même relation dans sa thèse).

La méthode de Langevin redonne le même résultat que le premier modèle proposé par Einstein deux

ans plus tôt et que le deuxième modèle deux ans plus tard.

On peut se demander jusqu'à quel point la relation de Sutherland-Einstein prouve l'existence de

molécules. Autrement dit, que serait la limite du coefficient de diffusion D si la nature était continue,

c'est-à-dire si le nombre d'Avogadro était infini?

Nous pressentons bien évidemment alors que D s'annulerait, et que le déplacement de diffusion

brownien disparaîtrait tout simplement dans cette limite. Autrement dit, le mouvement brownien

cesserait immédiatement si la Nature était continue! Ce qui est un résultat remarquable de preuve de

l'aspect discret de la nature!

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