Notes sur le point de Lagrange - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le point de Lagrange - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le point de Lagrange - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: POINT L2 DE LAGRANGE, POINT L3 DE LAGRANGE.
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(47.240)

Nous avons d'après la définition du barycentre :

(47.241)

Comme notre étude se fait par rapport au barycentre nous avons et donc :

(47.242)

De la relation précédente en prenant la norme nous avons bien évidemment :

(47.243)

La distance entre les deux astres A et B demeurant constante et égalant nous

écrivons :

(47.244)

Nous en déduisons trivialement :

(47.245)

Mais puisque nous pouvons grossièrement la première relation sous la forme

approximative suivante :

(47.246)

et puisque :

(47.247)

nous avons aussi :

(47.248)

Donc avec :

(47.249)

Selon le cas limite étudié précédemment, nous pouvons donc supposer L voisin de A tel

qu'abusivement il soit possible d'écrire :

(47.250)

avec .

Soit en utilisant :

(47.251)

Nous avons alors :

(47.252)

en négligeant les infiniment petits d'ordre 2.

D'où :

(47.253)

Maintenant dans la configuration mentionnée l'équilibre est donné par :

(47.254)

Donc :

(47.255)

Maintenant la troisième loi de Kepler (cf. chapitre de Mécanique Classique) nous donne :

(47.256)

Soit :

(47.257)

Après simplification :

(47.258)

Soit :

(47.259)

Donc :

(47.260)

Puisque est très supérieur à 1 et en admettant que le soit aussi nous avons :

(47.261)

Soit finalement :

(47.262)

et donc :

(47.263)

Si nous prenons le A Soleil et B la Terre, alors :

(47.264)

Nous trouvons que la distance LB vaut à peu près :

(47.265)

qui est le point L1 auquel a été placé le satellite SoHo.

Un cas particulier du point L1 à considérer est lorsque , alors , O est

alors le milieu de AB. Nous avons alors :

(47.266)

Dès lors :

(47.267)

devient :

(47.268)

Parmi les quatre racines évidentes de cette équation la seule solution acceptable est pour

satisfaire . En d'autres termes le point d'équilibre situé entre deux astres de même

masse n'est autre que le barycentre de ces deux astres.

POINT L2 DE LAGRANGE

Dans ce deuxième cas, nous considérons :

(47.269)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de B.

Dès lors nous avons :

(47.270)

qui devient simplement :

(47.271)

Le membre de gauche est une fonction strictement croissante

de x de à lorsque x décrit . Il y a donc une solution unique, et un point

d'équilibre au delà de B. Ce point est noté L2.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque tend vers 0

(correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus

petit), A tend alors vers O, vers 0 et donc :

(47.272)

avec . Dès lors, dans ce cas limite :

(47.273)

devient en approximation :

(47.274)

et donc :

(47.275)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera . Le point L2 finit donc par se

confondre avec B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant

relativement à notre situation limite précédente :

(47.276)

et considérons sans oublier que dans ce scénario

Nous avons alors quasiment les mêmes développements que pour L1 à la différence que :

(47.277)

Devient :

(47.278)

et que plutôt que d'avoir :

(47.279)

Nous avons :

(47.280)

et donc :

(47.281)

Toujours avec :

(47.282)

et donc :

(47.283)

ce qui correspond au point de Lagrange L2.

Un cas particulier à nouveau de L2 est lorsque , alors , O est alors le

milieu de AB. Nous avons alors :

(47.284)

Dès lors :

(47.285)

devient :

(47.286)

Il n'est plus possible d'extraire les racines ici. Il faut passer par une approximation numérique.

Dans Maple, il suffit de mettre :

solve(-1/(r+x)^2-1/(x-r)^2=x/(8*r^3),x);allvalues(");

et la seule solution admissible dans est les autres étant dans .

POINT L3 DE LAGRANGE

Dans ce deuxième cas, nous considérons :

(47.287)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de A.

Dès lors nous avons :

(47.288)

qui devient simplement :

(47.289)

Le membre de gauche est une fonction strictement croissante

de x de à lorsque x décrit . Il y a donc une solution unique, et un point

d'équilibre au delà de A. Ce point est noté L3.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque tend vers 0

(correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus

petit), A tend alors vers O, vers 0 et donc :

(47.290)

avec . Dès lors, dans ce cas limite :

(47.291)

devient en approximation :

(47.292)

et donc :

(47.293)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera . Le point L3 finit donc par se

confondre avec la position diamétralement opposée à B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant

relativement à notre situation limite précédente :

(47.294)

et considérons toujours sans oublier que dans ce scénario

Nous allons considérer d'abord l'approximation suivante :

(47.295)

et celle-ci aussi (puisque OA tend vers zéro lorsque l'astre A devient très massif) :

(47.296)

Dès lors :

(47.297)

Nous avons aussi (...) :

(47.298)

où à la limite où l'astre A est vraiment massif nous tombons sur le premier terme...

Avec ces deux dernières relations nous avons :

(47.299)

si nous négligeons les termes du deuxième ordre.

Nous avons par ailleurs aussi :

(47.300)

Rappelons la condition d'équilibre :

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