Notes sur le point de Lagrange - 3° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le point de Lagrange - 3° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le point de Lagrange - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU DEUXIÈME TYPE, POINT L4, L5 DE LAGRANGE.
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(47.301)

Et mettons tout ce que nous avons obtenu avant là-dedans :

(47.302)

Ce qui devient après simplifications :

(47.303)

après une petite approximation :

(47.304)

après simplification :

(47.305)

D'où :

(47.306)

et finalement :

(47.307)

Remarque: Chez certains auteurs de science-fiction, ce point L3 à l'opposé de la Terre par

rapport au Soleil nous cacherait une hypothétique planète qui nous serait perpétuellement cachée

par le Soleil.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU DEUXIÈME TYPE

Les positions d'équilibre du deuxième type sont donc celles pour lesquelles . En d'autres

termes les points situés hors de la droite AB, mais dans le plan Oxy.

Ainsi, notre système d'équations reste :

(47.308)

POINT L4, L5 DE LAGRANGE

Pour déterminer les autres points d'équilibre restant, nous pouvons diviser la deuxième

équation du système par ytel que le système devienne :

(47.309)

Retranchons à la première équation la deuxième multipliée par x. Nous obtenons alors pour la

première :

(47.310)

Soit :

(47.311)

Mais comme ceci se simplifie encore en :

(47.312)

Reprenons maintenant, en toute généralité, notre schéma du début en rajoutant quelques

éléments :

(47.313)

où AB est le distance entre A et B et D est le centre de masse du système donné par :

ou (47.314)

qui sont donc les rayons de giration des corps A et B.

Il est facile de vérifier que la somme des deux distances précédentes est égale à C et leur

proportion . Une autre forme de DB (qui nous sera utile) s'obtient en divisant

numérateur et dénominateur par :

(47.315)

Nous savons selon nos calculs précédents que mais cela est insuffisant. Nous voulons

encore connaître les angles des sommets A, B, S et c'est ce dont à quoi nous allons nous

intéresser maintenant.

Dans ce cadre, si un satellite en S est en équilibre, il restera toujours à la même distance

de A ou de B. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la masse A elle-même tourne

autour de lui. Si le satellite, en S, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T.

Si S est immobile dans ce cadre en rotation il ne sera pas soumis à la force de Coriolis mais

uniquement à la force centrifuge, aussi bien de celle de A que de B.

Notons la vitesse de rotation de B et la vitesse de rotation de S. Nous avons alors :

et (47.316)

Nous en tirons que :

et (47.317)

Nous pouvons donc égaler ces deux expressions :

(47.318)

Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus

éloigné de l'axe est le plus rapide. Les vitesses sont proportionnelles aux distances de l'axe.

La force centrifuge sur B est en équilibre avec la force gravitationnelle de A s'exprime par :

(47.319)

Soit en simplifiant :

(47.320)

De même, la force centrifuge qui s'applique sur S est :

(47.321)

Elle est équilibrée par les forces d'attraction et des corps A et B. Néanmoins, seules les

composantes de ces forces situées sur la ligne R s'opposent efficacement à cette force

centrifuge. D'où :

(47.322)

et comme :

et (47.323)

Nous avons alors :

(47.324)

Il y a aussi les forces s'appliquant à S et perpendiculaires à R doivent s'annuler. Si non, le

corps S suivrait la masse la plus importante et ne resterait pas en position et ne serait donc plus

en équilibre. Il faut donc que :

(47.325)

Soit, après substitution et simplification :

(47.326)

De toutes les équations obtenues jusqu'à maintenant les seules qui nous dérangent sont les

vitesses et les angles . Il faut donc que nous arrivions à éliminer ce qui convient pour

n'avoir que les deux derniers paramètres (soit les angles).

Pour cela, nous portons au carré :

(47.327)

Nous multiplions des deux côtés par et divisons par :

(47.328)

qui est à rapprocher de :

(47.329)

Donc en égalisant :

(47.330)

Nous avons donc éliminé la vitesse de B. Maintenant, multiplions les deux côtés par et

divisons par et multiplions par R :

(47.331)

à rapprocher de :

(47.332)

Donc :

(47.333)

En divisant le tout par nous trouvons :

(47.334)

et comme nous avons démontré au début que nous noterons R'. Nous avons alors :

(47.335)

et rappelons que nous avons :

(47.336)

Soit :

(47.337)

Ce qui nous permet d'écrire :

(47.338)

En multipliant par :

(47.339)

Soit :

(47.340)

Nous pouvons maintenant remarquer une chose (faut le voir...). Si (soit que le

triangle ABS est équilatéral) la relation précédente se simplifie en :

(47.341)

Or, si le triangle est bien équilatéral nous avons alors . Dès lors :

(47.342)

Soit ce qui peut s'écrire finalement :

(47.343)

Ce qui n'est d'autre que le théorème des sinus pour le triangle SDB (cf. chapitre de

Trigonométrie) et est donc certain. En reprenant en arrière, nous pouvons maintenant prouver

toutes les équations précédentes sont satisfaites si et seulement si ABS est équilatéral. Si nous

n'avions pas posé ABS comme équilatéral, nous aurions obtenu une relation différente du

théorème des sinues, sans vérification possible, et l'ensemble des équations exigées pour

l'équilibre au point S n'auraient pu être satisfaites.

Conclusion de la chose... le système donne comme solution :

(47.344)

ABS (ou ABL peu importe l'écriture), forme alors un triangle équilatéral. Les deux points

d'équilibre sont notés L4 et L5. L4 est situé en avance par rapport à l'astre de masse la plus

petite, et L5 en retard.

(47.345)

En 2000, 385 astéroïdes en L4 et 188 astéroïdes en L5 ont été comptabilisés sur l'orbite de

Jupiter, mais situés précisément selon un triangle équilatéral avec le Soleil et Jupiter de part et

d'autre de Jupiter : ce sont les planètes troyennes. Il a également été observé deux objets au

point L5 de Mars découverts en 1990 et 1998.

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