Notes sur le polynôme algébrique, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le polynôme algébrique, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur le polynôme algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions.
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Polynôme algébrique

Définition (simpliste): Nous appelons "polynôme algébrique P(x)" une fonction de degré qui

s'écrit:

(8.46)

ou de façon plus condensée par:

(8.47)

Remarques:

R1. Le n en indice du P(x) est parfois omis car explicitement défini dans l'énoncé.

R2. Le lecteur qui aura parcouru le chapitre de Théorie Des Ensembles, se rappellera certainement

que l'ensemble des polynômes de degré n ou inférieurs forment un structure d'espace vectoriel!

Définition (ensembliste): Soit k un anneau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) et .,

"l'anneau des polynômes" en nindéterminées (ou variables) est construit à partir d'un

polynôme élémentaire, appelé "monôme" de la forme:

(8.48)

où est le "coefficient du monôme", sont des entiers et où forme la

"partie littérale du monôme". Ainsi, par construction, un polynôme est une somme d'un nombre

fini de monômes appelés alors "termes du polynôme".

Ainsi, le cas particulier commun utilisé dans les petites classes et présenté au début est k[X],

c'est-à-dire l'anneau des polynômes à une variable à coefficients dans k. Tout élément

de k[X] s'écrit donc:

(8.49)

avec et .

Remarques:

R1. Notez bien que les puissances sont toujours positives (ou nulles) dans k[X] !!!

R2. Nous disons que deux monômes sont semblables s'ils ont la même partie littérale.

Définition: Nous nommons "racine" ou "zéro de polynôme", la ou les valeurs x telles que

"l'équation polynomiale" soit satisfaite à la condition qu'au moins un

des avec soit non nul.

Si le polynôme admet une ou plusieurs racines nous pouvons alors factoriser ce dernier sous la

forme (nous le démontrerons rigoureusement de manière générale plus loin):

(8.50)

afin que quand x prend la valeur d'un des racines, l'expression ci-dessus soit nulle. C'est ce que

nous appelons par convention "factoriser un polynôme".

Les identités algébriques sont des des formes particulières de fonctions polynomiales.

Considérons une constantec et une variable x et:

(8.51)

Nous voyons que si nous posons:

(8.52)

nous retrouvons:

(8.53)

Définition: Le "coefficient dominant" d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut

degré.

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