Notes sur le polynôme cyclotomique, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le polynôme cyclotomique, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur le polynôme cyclotomique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la définition, les éléments.
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Polynôme Cyclotomique

Si n est un entier naturel, nous appelons "polynôme cyclotomique" ce que nous notons

traditionnellement et que définissons comme étant le produit de tous les monômes (

) où est un racine primitive n-ème de l'unité de .

Pour rappel une racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre de De Moivre") est un nombre

complexe dont la puissance n-ème vaut 1.

Ainsi, l'ensemble des racines n-èmes de l'unité est l'ensemble:

(8.143)

qui est un groupe cyclique (voir la Théorie Des Ensembles dans la section d'arithmétique du site et

le chapitre d'Algèbre Ensembliste dans la présente secion).

Nous appelons alors "racine primitive n-ème de l'unité" ou "R.P.N." tout élément de ce groupe

l'engendrant.

Les éléments de sont donc du type:

(8.144)

avec . Nous écrivons alors l'ensemble des sous la forme:

(8.145)

Un petit exemple de polynôme cyclotomique:

(8.146)

avec:

(8.147)

qui sont donc les racines quatrième de l'unité (autrement dit chacun de ces nombres mis à la

puissance 4 donne 1). Elles forment le groupe et celui-ci peut-être engendré que par i et -

i (générateur du group selon ce qui a été vu dans le chapitre de Théorie des Ensembles).

Donc un polynôme cyclotomique est le produit de facteurs qui s'écrit:

(8.148)

avec et k étant premier par rapport à n.

Les polynômes ont un grand nombre de propriétés que nous n'aborderons pas ici puisque ce site

ne se veut pas être un ouvrage de mathématiques supérieure.

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