Notes sur le polynômes arithmétiques., Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le polynômes arithmétiques., Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur le le polynômes arithmétiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, Démonstration, la valeur absolue, les régles de calcul.
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Polynômes arithmétiques.

Définition: Un "polynôme arithmétique" (à ne pas confondre avec les polynômes algébriques qui

seront étudiés dans la section d'Algèbre) est un ensemble de nombres séparés les uns des autres

par les opérations d'addition ou de soustraction (+ ou -).

Les composants enfermés dans le polynôme sont appelés "termes" du polynôme. Lorsque le

polynôme contient un unique terme, nous parlons alors de "monôme", s'il y a deux termes nous

parlons de "binôme", et ainsi de suite...

La valeur d'un polynôme arithmétique est égale à l'excès de la somme des termes précédés du

signe + sur la somme des termes précédés du signe -.

Démonstration:

(3.90)

quelque soit les valeurs des termes.

C.Q.F.D.

Mettre en évidence l'unité négative -1 est ce que nous appelons une "factorisation" ou "mise en

facteurs". L'opération inverse, s'appelant une "distribution".

Le produit de plusieurs polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique que nous

appelons le "produit effectué". Nous opérons habituellement comme suit: nous multiplions

successivement tous les termes du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le

premier, le second, ..., le dernier terme du second polynôme. Nous obtenons ainsi un premier

produit partiel. Nous faisons, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables. Nous multiplions

ensuite chacun des termes du produit partiel successivement par le premier, le second, ..., le

dernier terme du troisième polynôme en commençant par la gauche et ainsi de suite.

Le produit des polynômes A,B,C, ...L, ... est la somme de tous les produits de n facteurs formés

avec un terme deA, un terme de B, ..., et un terme de L. S'il n'y a aucune réduction, le nombre des

termes du produit est égal au produit des nombres des termes des facteurs.

4. VALEUR ABSOLUE

Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.

Exemples:

E1. +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7

E2. -5 est constitué du signe - et de la valeur absolue 5

La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de -5 est donc 5.

Définition: Pour tout nombre réel x, la "valeur absolue" de x, notée est donnée par:

(3.91)

Nous remarquons que:

(3.92)

Ainsi que les expressions équivalentes:

(3.93)

et :

(3.94)

et encore:

(3.95)

ces dernières étant souvent utilisées dans le cadre de la résolution des inéquations.

Indiquons qu'il est aussi utile d'interpréter l'expression comme la distance entre les deux

nombres x et ysur la droite réelle. Ainsi, en munissant l'ensemble des nombres réels de la distance

valeur absolue, il devient un espace métrique.

La résolution d'une inéquation telle que se résout alors simplement à l'aide de la notion

de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à

9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayons 9 ou autrement écrit:

(3.96)

La valeur absolue a quelques propriétés triviales que nous énoncerons sans démonstrations:

P1. La valeur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres réels est inférieure ou égale à

la somme des valeurs absolues des composantes de la somme:

(3.97)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "première inégalité triangulaire".

P2. La valeur absolue de la différence est supérieure ou égale à la valeur absolue de la différence

des valeurs absolues des composantes de la différence:

(3.98)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "deuxième inégalité triangulaire".

P3. La valeur absolue du produit (multiplication) est égale au produit des valeurs absolues:

(3.99)

P4. La valeur absolue du rapport est égale au rapport des valeurs absolues:

(3.100)

5. RÉGLES DE CALCUL Fréquemment en informatique (dans le développement en particulier), nous parlons de "priorité

des opérateurs". En mathématiques nous parlons de "priorité des ensembles d'opérations et des

règles des signes". De quoi s'agit-il exactement?

Nous avons déjà vu quelles étaient les propriétés des opérations d'addition, soustraction,

multiplication, mise en puissance et division. Nous tenons donc à ce que le lecteur différencie la

notion de "propriété" de celle ce de "priorité" (que nous allons tout de suite voir) qui sont des

choses complètement différentes.

En mathématiques, en particulier, nous définissons les priorités des symboles: {[( )]}

Autrement dit:

1. Les opérations qui sont entre parenthèses ( ) doivent êtres effectuées en premier dans le

polynôme.

2. Les opérations qui sont entre crochets [ ] doivent êtres effectuées en second à partir des

résultats obtenus des opérations qui se trouvaient entre les parenthèses ( ).

3. Finalement, à partir des résultats intermédiaires des opérations qui se trouvaient entre

parenthèses ( ) et crochets [ ], nous calculons les opérations qui se situent entre les accolades { }.

Faisons un exemple, ceci sera plus parlant.

Exemple:

Soit à calculer le polynôme:

(3.101)

Selon les règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons d'abord tous les éléments

qui sont entre parenthèses ( ), c'est-à-dire:

, , (3.102)

ce qui nous donne:

(3.103)

Toujours selon le règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons maintenant tous

les éléments entre crochets en commençant toujours à calculer les termes qui sont dans les

crochets [ ] au plus bas niveau des autres crochets [ ]. Ainsi, nous commencons par calculer

l'expression qui se trouve dans le crochet de niveau supérieur: .

Cela nous donne et donc:

(3.104)

Il nous reste à calculer maintenant et donc:

(3.105)

Nous calculons maintenant l'unique terme entre accolades, ce qui nous donne :

(3.106)

Finalement il nous reste:

(3.107)

Evidemment il s'agit d'un cas particulier... Mais le principe est toujours le même.

La priorité des opérateurs arithmétiques est une notion spécifique aux langages informatiques

(comme nous en avons déjà fait mention) du fait qu'on ne peut dans ces derniers écrire des

relations mathématiques que sur une ligne unique.

Ainsi, en informatique l'expression:

(3.108)

s'écrit (à peu de choses près) :

(3.109)

Un non-initié pourrait y lire:

ou ou (3.110)

ou :

(3.111)

et encore quelques autres... ce qui vous en conviendrez, est fort dangereux car nous arriverons à

des résultats différents à chaque fois (cas particuliers mis à part...) !

Ainsi, il a logiquement été défini un ordre de priorité des opérandes tel que les opérations soient

effectuées dans l'ordre suivant:

1. - Négation

2. ^ Puissance

3. * / Multiplication et division

4. \ division entière (spécifique à l'informatique)

5. Mod Modulo (cf. chapitre de Théorie Des Nombres)

6. + - Addition et soustraction

Evidemment les règles des parenthèses ( ), crochets [ ], et accolades { } qui ont été définies en

mathématiques s'appliquent à l'informatique.

Ainsi, nous obtenons dans l'ordre (nous remplaçons chaque opération effectuée par un symbole):

D'abord les termes entre parenthèses:

(3.112)

Ensuite les règles de priorité des opérateurs s'appliquent dans l'ordre défini précédemment:

D'abord (1):

(3.113)

ensuite (2) :

(3.114)

nous appliquons la multiplication (3):

(3.115)

et finalement la division (3):

(3.116)

Les règles (4) et (5) ne s'appliquent pas à cet exemple particulier.

Finalement (6) :

(3.117)

Ainsi, en suivant ces règles, ni l'ordinateur, ni l'être humain ne peuvent (ne devraient) se tromper

lors de l'interprétation d'une équation écrite sur une ligne unique.

En informatique, il existe cependant plusieurs opérateurs que nous ne retrouvons pas en

mathématiques et qui changent souvent de propriétés d'un langage informatique à un autre. Nous

ne nous attarderons pas trop là-dessus cependant, nous avons mis ci-dessous un petit descriptif:

L'opérateur de concaténation " & " est évalué avant les opérateurs de comparaisons.

Les opérateurs de comparaison (=, <, >, ...) possèdent tous une priorité identique.

Cependant, les opérateurs les plus à gauche dans une expression, détiennent une priorité plus

élevée.

Les opérateurs logiques sont évalués dans l'ordre de priorité suivant:

1. Not - 2. And - 3. Or - 4. Xor - 5. Eqv - 6. Imp

Maintenant que nous avons vu les priorités des opérateurs, quelles sont les règles des signes en

vigueur en mathématiques?

D'abord, il faut savoir que ces dernières ne s'appliquent que dans le cas de la multiplication et la

division. Soit deux nombres positifs . Nous avons:

(3.118)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres positifs est un nombre positif et ceci est

généralisable à la multiplication de n nombres positifs.

Nous avons:

(3.119)

Autrement dit, la multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Ce qui est

généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombres négatifs

et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs sur la totalité n des nombres

de la multiplication.

Nous avons:

(3.120)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres négatifs est positif. Ce qui est généralisable à un

résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombre négatifs et à un résultat

négatif pour un nombre impair de nombres négatifs.

Pour ce qui est des divisions, le raisonnement est identique:

et (3.121)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division

sera positif.

Nous avons:

et (3.122)

Autrement dit, si soit le numérateur ou le dénominateur est négatif, alors le résultat de la division

sera forcément négatif.

Nous avons:

et (3.123)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division,

sera forcément positif.

Evidemment, si nous avons une soustraction de termes, il est possible de la récrire sous la forme :

(3.124)

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