Notes sur le potentiel électrique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le potentiel électrique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le potentiel électrique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'indépendance du chemin, l'équipotentielles et lignes de champ, le fil rectiligne infini, le dipôle électrique ...
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Soient deux point A et B dans une région de l'espace où il existe un champ

électrique et soit un chemin reliant ces deux points, alors dans le cas particulier où

la source d'un champ est une sphère ou un corps ponctuel et que nous posons une charge à

son voisinage nous avons pour le travail effectué par la force pour déplacer la charge du

point A au point B :

(35.9)

Par ailleurs, ce travail est comme nous le verrons plus loin, assimilable à l'énergie potentielle.

Nous définissons ainsi la "différence de potentiel" ou simplement le "potentiel" donné par :

(35.10)

et donc :

(35.11)

Remarques:

R1. Le potentiel est souvent appelé "tension" par les électriciens, électrotechniciens ou autres

ingénieurs. Parfois par abus de la langue anglophone le terme "voltage" est ensuite utilisé par

référence à l'unité de mesure du potentiel qui est le "Volt" noté [V].

R2. La différence de potentiel peut aussi bien se faire entre deux bornes chargées de manières

opposées (+,-) qu'entre deux bornes (+,neutre) ou encore (-,neutre). Ces deux derniers cas

représentent typiquement la configuration utilisée par les trains, trams, l'orage et presque tous les

appareils électroménager

Démontrons maintenant dans le cadre le plus général qui soit que le champ vectoriel

stationnaire dérive d'un champ de potentiel :

Soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur . Alors en chaque point

de l'espace il existe un champ tel que:

(35.12)

développons cette expression:

(35.13)

Si est un champ de potentiel stationnaire alors, il doit exister un potentiel de ce

champ qui satisfasse :

; ; (35.14)

Regardons si le potentiel existe pour un champ de Coulomb.

Nous devons alors avoir pour le champ en x:

(35.15)

d'où:

(35.16)

et si nous effectuons le même développement pour chaque composante, nous obtenons

également le même résultat. Donc le potentiel est un champ scalaire et non vectoriel comme

l'est le champ électrique !

est appelé dans le cas d'un champ de Coulomb "potentiel coulombien" et est noté U.

Comme nous pouvons le constater par l'expression de , C est une constante

arbitraire, qui impose dans le cas d'absence de charges que:

(35.17)

Ce qui nous donne finalement:

(35.18)

Ce qui donne pour toutes les composantes :

(35.19)

que nous notons plus brièvement:

(35.20)

Remarque: Les mêmes développements et résultats (et ceux qui vont suivre) sont applicables en

ce qui concerne le champ de potentiel gravitationnel. Cependant il est rare qu'ils soient effectués

dans la littérature ou les écoles car l'être humain ne contrôle pas le champ gravitationel avec une

facilité et une intensité équivalente à celle du champ électrique...

Indépendance du chemin

Démontrons maintenant que la différence de potentiel entre deux points A et B ne dépend pas

du chemin parcouru tel que nous l'avons fait pou le champ de potentiel gravitationnel dans le

chapitre de Mécanique Classique.

Soit un chemin reliant deux points A et B et un champ et faisons en sorte d'exprimer le

champ en x, yet z par rapport à une seule variable t (qui n'a rien avoir avec le temps...) qui

rendrait compte de sa variation lors d'un déplacement quelconque entre ces deux points:

(35.21)

Cette dernière expression montre bien que U est indépendant du chemin quelle que soit la

manière dont nous paramétrons celui-ci.

Le champ de Coulomb est donc un "champ conservatif". En effet, si nous considérons un

chemin fermé et soit A et B deux points confondus du chemin alors la différence de potentiel

est sera nul.

ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP

Nous pouvons maintenant à partir de ce que nous avons établit, définir les "équipotentielles" et

les "lignes de champ".

Soit un champ de Coulomb défini par rapport à un référentiel. Alors à chaque point (x,y,z) de

l'espace, nous pouvons associer un vecteur champ électrique ainsi qu'un potentiel

électrique.

Définition: Nous définissons les "lignes de champ" comme étant une famille de courbes pour

lesquelles le vecteur est tangent et constant en chaque point et les "équipotentielles"

comme étant des lignes pour lesquelles le potentiel U(x,y,z) est aussi constant.

Dans ce cas, et c'est ce que nous allons démontrer, toutes les lignes de champ sont

perpendiculaires à toutes les équipotentielles.

Démonstration:

Utilisons la propriété suivant de conservation du champ de coulomb pour la démonstration :

(35.22)

Comme nous sommes en présence d'un champ électrique, celui-ci dérive donc d'un potentiel

comme nous le savons. Ceci implique que si le champ n'est pas nul le potentiel ne l'est

également pas. Donc, dans l'intégrale curviligne:

(35.23)

un des termes est nul ! Ce n'est pas le champ électrique puisqu'on est présence d'un, ce qui

discrédite le potentiel U et comme la charge se déplace n'est pas nul non plus. Écrivons

alors l'intégrale curviligne d'une autre manière:

(35.24)

d'où:

(35.25)

nous pouvons donc conclure que les équipotentielles sont bien perpendiculaires aux lignes

de champ électrique et inversement. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Voici les exemples de lignes de niveaux comprenant lignes de champs et lignes de potentielles

obtenu à l'aide de Maple (nous montrerons lors de notre étude des équations différentielles

comment obtenir les fonctions mathématiques des lignes de champs) :

A gauche : un seule charge - A droite : deux charges de signe égal

A gauche : deux charges de signes opposés - A droite : quatre charges de signe égal

(35.26)

Remarque: Mis à part avec les charges opposées, nous rappelons que les mêmes résultats sont

applicables pour les masses avec le champ gravitationnel.

Deux applications de ces résultats sont très importants (pour lesquels nous nous limiterons à

l'étude des propriétés les plus importantes) :

1. La détermination des lignes de champs et équipotentielles pour un fil rectiligne infini tel que

nous pouvons en approximation en considérer dans les circuits électriques ou les lignes hautes

tensions aériennes (afin de déterminer l'influences des champs des fils avec leur environnement

- cette étude fait partie du domaine de l'électrodynamique de l'ingénieur que nous appelons la

CEM pour "Compatibilité Électromagnétique"). Les résultats pourront aussi être utilisés pour

déterminer la "tension de pas" pour certains systèmes rectilignes qui détermine pour une

distance donnée, le potentiel par mètre pour lequel un mammifère peut être tué par électrochoc

proche d'un tel fil. Une extension (sur laquelle je ne souhait pas trop m'attarder bien que le

sujet soit passionnant mais très chaud) est aussi l'influence d'un tel type de potentiel sur le

fonctionnement du cerveau humain dans le cas de l'usage des téléphones portables (antennes

émettrices d'un potentiel) ou d'habitations proche de lignes hautes tensions....

Remarque: Nous déterminerons dans le chapitre de Magnétostatique la loi de Biot et Savart qui

donne le champ magnétique pour un tel fil parcouru par une intensité de courant donnée.

2. La détermination des lignes de champs et équipotentielles du dipôle électrique qui a une

énorme importance en chimie comme nous le verrons lors des développements. Nous verrons

également quelle est la dynamique de celui-ci lorsqu'il est plongé dans un champ électrique

uniforme l'énergie d'interaction entre dipôles (comme c'est souvent le cas en chimie).

FIL RECTILIGNE INFINI

Soit:

(35.27)

Nous avons :

(35.28)

en faisant usage du concept de densité linéique de charges tel que nous l'avons défini dans le

chapitre Principes de la section de mécanique, nous avons :

(35.29)

Considérons une ligne infinie de section négligeable, et portant une charge linéique continue

. Le but est donc de calcul le champ électrique et le potentiel en tout point M de l'espace

extérieur à cette ligne afin de connaître les influences des charges de cette ligne sur son

environnement en ne considérant que l'influence du champ électrique (si les charges étaient en

mouvement il faudrait également prendre en compte l'influence du champ magnétique ce que

nous ferons dans le chapitre de Magnétostatique).

Pour cela, la méthode consiste à découper la ligne en de petits éléments de ligne dl, chacun de

ces éléments portant une charge dq. Le champ créé par la charge en P au point M à

distance x et de projection orthogonale Hsur la ligne est :

(35.30)

L'astuce consiste maintenant à prendre le symétrique P' de P par rapport à H (la projection

orthogonale de M sur le fil) pour lequel nous avons identiquement :

(35.31)

Le champ total est donc :

(35.32)

Or, nous avons :

(35.33)

Donc :

(35.34)

Comme nous pouvons nous en douter, cette dernière relation montre bien que le champ est

orthogonal à la ligne (au fil...).

La norme de est :

(35.35)

Cette relation comporte 3 variables dépendantes r,dl,x. La norme du champ total en un point

est donc la somme des normes sur l'ensemble de la longueur du fil puisque tous les

vecteurs ont même direction.

Pour effectuer ce calcul, nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,dl,x en

fonction de l'angle entre la ligne et le vecteur . Dans le triangle rectangle HMP :

(35.36)

si nous prenons l'origine des z en H. Nous avons aussi :

(35.37)

et :

(35.38)

d'où :

(35.39)

L'intégration est facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons intégrer sur une

moitié de ligne, donc entre 0 et :

(35.40)

et donc :

(35.41)

Le potentiel se déduit aisément en prenant la primitive de E :

(35.42)

La constante est indéterminée puisque lorsque r tend vers l'infini, U tendant vers zéro conduit à

une constant infinie. Cette indétermination est due essentiellement à l'approximation de la

ligne infinie.

DIPÔLE ÉLECTRIQUE RIGIDE

Une disposition très intéressant de charges est celle constituant un "dipôle" électrique. Elle

consiste en deux charges égales et opposées +q,-q séparées par une très petite distance. Nous

allons chercher à déterminer le potentiel et le champ électrique en un point M de

l'environnement du dipôle.

Pour déterminer cela, considérons une charge quelconque en un point et un point M très

éloigné de . Prenons un repère quelconque centré en O :

(35.43)

Le potentiel créé au point M par la charge s'écrit :

(35.44)

Dans le triangle , la distance peut être écrite selon le théorème du cosinus :

(35.45)

Le potentiel devient :

(35.46)

ou encore :

(35.47)

A très grande distance, r devient très supérieur à , la quantité :

(35.48)

tend vers zéro. Nous pouvons donc effectuer un développement de MacLaurin de au

voisinage de (cf. chapitre sur les Suites Et Séries). Pour ne pas alourdir le calcul, nous

nous limiterons à l'ordre deux en r :

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