Notes sur le potentiel électrique - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le potentiel électrique - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le potentiel électrique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, trois types d'interaction.
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(35.49)

donc :

(35.50)

En ne gardant que les termes du second ordre en r :

(35.51)

Le potentiel devient :

(35.52)

Nous avons gardé dans l'expression du potentiel trois termes. Le terme est le potentiel créé

par une charge qui se trouverait en O. Autrement dit, à l'ordre zéro, le potentiel crée par une

charge située en un point proche deO est identique au potentiel créé par une charge qui se

trouverait en O. Les termes sont des termes correctifs, à l'ordre un et à l'ordre deux

respectivement. Nous remarquons que ces deux termes varient en , donc décroissant

plus vite que le premier. Ces deux termes sont donc plus efficaces à plus petite distance.

Nous voyons que les termes font intervenir la quantité . Cette quantité est ce que

nous définissons comme étant le "moment dipolaire" du dipôle électrostatique:

(35.53)

Remarque: Le moment dipolaire est exprimé en Coulomb par mètre mais par mesure de

commodité (...) il est exprimé en Debye [D] par certains ingénieurs.

Le potentiel créé à grande distance par une distribution discrète de charges s'obtient en

sommant toutes les contributions individuelles :

(35.54)

Ce qui peut aussi s'écrire :

(35.55)

Par définition, est le terme unipolaire ou monopolaire, le terme

dipolaire, quadripolaire. Si la distribution de charge est au total nulle, comme c'est le

cas d'un atome ou d'une molécule non ionisée, seuls subsistent les contributions multipolaires.

Revenons au dipôle. Le terme monopolaire est nul, puisque la somme des charges est nulle. Si

nous négligeons les termes d'ordre supérieurs à deux, il reste la contribution dipolaire. Les

angles et sont complémentaires, donc . Mais, comme , le

produit est constant. Le potentiel s'écrit alors :

(35.56)

ou encore :

(35.57)

où :

(35.58)

Rappelons que nous avons démontré :

(35.59)

et comme nous l'avons vu en analyse vectorielle, le gradient en coordonnées sphérique nous

amène à écrire :

(35.60)

d'où :

(35.61)

Pour déterminer l'équation des équipotentielles, rappelons que ces lignes (ou "surfaces" dans

l'espace) s'obtiennent par la contrainte :

(35.62)

d'où :

(35.63)

avec :

(35.64)

Le champ électrique doit être par définition tangent aux lignes de champ, donc parallèle au

déplacement élémentaire.

(35.65)

Puisque , nous avons :

(35.66)

Donc finalement il ne reste plus que :

(35.67)

Qui est donc une équation différentielle qui s'intègre facilement :

(35.68)

Ce qui équivaut à écrire :

(35.69)

La tracé des lignes de champs et des équipotentielles donnent alors en coordonnées sphériques

(ne pas oublier que la composant verticale est nulle par symétrie) :

(35.70)

Bien que dans un dipôle électrique les deux charges soient égales et opposées, donnant une

charge résultante nulle, le fait qu'elles soient légèrement déplacées est suffisant pour produire

un champ électrique non identiquement nul. Dans les atomes, le centre de masse des électrons

coïncide avec le noyau, et par conséquent le moment électrique dipolaire moyen de l'atome est

nul. Mais si un champ extérieur est appliqué, le mouvement des électrons est distordu et le

centre de masse des électrons est déplacé d'une distance x par rapport au noyau. L'atome est

alors polarisé et devient un dipôle électrique de moment p. Ce moment étant proportionnel au

champ extérieur .

Remarque: Les molécules par ailleurs peuvent avoir un moment électrique permanent. De telles

molécules sont dites "molécules polaires". Par exemple, dans la molécule HCl l'électron de

l'atome d'hydrogène passe plus de temps à se déplacer autour de l'atome de chlore qu'autour de

l'atome d'hydrogène. Aussi, le centre des charges négatives ne coïncide-t-il pas avec le centre des

charges positives et la molécule possède un moment dipolaire. Par contre, dans la molécule ,

tous les atomes sont alignés, et le moment électrique dipolaire résultant est nul par raison de

symétrie.

Quand un dipôle électrique est placé dans un champ électrique, une force s'exerce sur chacune

des charges du dipôle. La force résultante est :

(35.71)

Considérons le cas particulier où le champ électrique est dirigé le long de l'axe des X et où le

dipôle est orient parallèlement à ce champ. Si nous considérons seulement les grandeurs :

(35.72)

avec a étant la distance entre les deux charges, et par conséquent :

(35.73)

Ce résultat montre qu'un dipôle électrique orienté parallèlement au champ tend à se déplacer

dans la direction dans laquelle le champ s'accroît (selon le gradient de celui-ci). Nous

remarquons que si un le champ électrique est uniforme, la force résultant sur le dipôle est

nulle.

L'énergie potentielle du dipôle est :

(35.74)

Si nous utilisons la relation :

(35.75)

pour décrire le champ électrique uniforme et si est l'angle entre le dipôle et le champ

électrique, le dernier facteur est juste la composante du

champ parallèle à . Donc :

ou (35.76)

L'énergie potentielle est minimale pour , ce qui montre que le dipôle est en équilibre

quand il est orienté parallèlement au champ.

Ces configurations d'un dipôle placé dans un champ électrique ont des applications très

importantes. Par exemple, le champ électrique d'un ion en solution polarise les molécules du

solvant qui entoure les ions et elles s'orientent comme sur la figure ci-dessous :

(35.77)

Dans un solvant à molécules polaires tel que l'eau, les ions d'un électrolyte en solution

s'entourent d'un certain nombre de ces molécules en raison de l'interaction charge-dipôle. Ce

phénomène est appelé la "solvation" de l'ion, précisément "hydratation" si le solvant est de

l'eau.

Ces molécules orientées deviennent plus ou moins solidaires de l'ion, augmentant sa masse

effective et diminuant sa charge effective, qui est partiellement masquée par les molécules.

L'effet net est que la mobilité de l'ion dans un champ extérieur est réduite. De même, lorsqu'un

gaz ou un liquide, dont les molécules sont des dipôles permanents est placé dans un champ

électrique, les molécules à la suite des couples dus au champ électrique, tendent à s'aligner

avec leurs dipôles parallèles. Nous disons alors que la substance a été "polarisée".

Il peut donc être intéressant de déterminer le champ électrique vectoriel produit par un dipôle

plutôt que le potentiel. Le champ électrostatique crée en un point M par le doublet s'obtient en

effectuant la somme vectorielle des champs créés en ce point des charges positive P et

négative N, d'où :

(35.78)

La distribution des charges étant invariantes par rotation autour de l'axe Oz du doublet, la

topographie est indépendante de l'angle azimutal des coordonnées sphériques. Nous

pouvons la représenter dans un plan méridien quelconque passant par l'axe NP. Le

champ est donc donné par :

(35.79)

Ayant :

(35.80)

vectoriellement, nous avons :

(35.81)

Le produit scalaire étant la multiplication des composantes une à une, nous avons :

(35.82)

d'où :

(35.83)

Finalement :

(35.84)

Donc par un développement limité en série de MacLaurin comme nous l'avons fait au début :

(35.85)

soit en introduisant :

(35.86)

Il peut être pertinent aussi de calculer l'énergie d'interaction entre deux dipôles électriques. Si

nous appelons le moment dipolaire, nous pouvons écrire :

(35.87)

Si nous désignons par le moment du second dipôle et si nous utilisons la relation :

(35.88)

nous trouvons que l'énergie d'interaction entre les deux dipôles est :

(35.89)

Nous pouvons tirer plusieurs conclusions importantes de ce résultat. L'énergie

d'interaction est symétrique par rapport aux deux dipôles, car la permutation

de et la laisse inchangée. C'est un résultat prévu. L'interaction entre deux dipôles n'est

pas centrale car elle dépend des angles que le vecteur de position ou le vecteur unitaire fait

avec et .

Un atome, une molécule ou un ion, dont le moment dipolaire est nul à l'état fondamental,

acquièrent un moment dipolaire sous l'action du champ électrique appliqué comme nous

l'avons vu puisque les charges de signes opposées sont sollicitées dans des sens opposés. Les

barycentres des charges positives et négatives ne coïncidant plus, il apparaît un "moment

dipolaire induit". Dans une approximation expérimentale linéaire valable pour des champs

excitateurs faible, ce moment dipolaire induit est proportionnel au champ appliqué , ce que

nous traduisons par (il s'agit au fait d'une approximation de la relation de Langevin-Debye que

nous démontrerons plus tard) :

(35.90)

La quantité , dont la dimension physique est celle d'un volume, est la "polarisabilité" de

l'édifice. L'interaction électrostatique dipôle-dipôle a été introduite par J.D. Van der Waal en

1873, dans le cas des molécules, afin d'interpréter les écarts réels par rapport au gaz parfaits.

Les forces de Van der Waals sont répulsives lorsque la distance entre les molécules est très

faibles car elles s'opposent à l'interpénétration des nuages électroniques, ce que nous

exprimons en introduisant leur volume (covolume).

En revanche, elles sont attractives lorsque cette distance est suffisante. Nous attribuons cette

attraction à trois types d'interaction mettant en cause des dipôles rigides ou induits :

1. Les forces entre molécules polaires (dipôles rigides), dites de W. Keesm

2. Les forces entre une molécule polaire (dipôle rigide), et une molécule polarisable (dipôle

induit) dites de Debye.

3. Les forces moyennes entre les dipôles induits instantanés qui apparaissent même lorsque les

molécules ne sont pas polaires, dites de F. London.

Dans ces trois cas, l'énergie électrostatique est négative (attraction) et varie comme . Pour le

montrer, calculons l'énergie d'interaction entre deux dipôles rigides, de moments

dipolaires et :

avec et (35.91)

Par conséquent :

(35.92)

d'où :

(35.93)

Ainsi, la dépendance radiale de la force est en . Cette décroissance très rapide de la force de

Van der Waals avec la distance permet d'expliquer sa très courte portée et par conséquent sont

influence lorsque le milieu est suffisamment dense.

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