Notes sur le principe d'induction, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le principe d'induction, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le principe d'induction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, l'exemple.
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Principe d'induction.

Soit S un ensemble de nombres naturels qui possède les deux propriétés suivantes :

P1.

P2. Si , alors

Alors :

(4.9)

Nous construisons ainsi l'ensemble des nombres naturels (se référer au chapitre de Théorie des

Ensembles pour voir la construction rigoureuse de l'ensemble des nombres entiers avec les

axiomes de Zermelo-Fraenkel).

Soit maintenant:

(4.10)

le symbole " \ " signifiant "excluant". Nous voulons démontrer que :

(4.11)

A nouveau, même si cela est trivial à comprendre faisons la démonstration car elle permet de voir

le type de démarches utilisés par les mathématiciens quand ils doivent démontrer des éléments

triviaux de ce type...

Démonstration:

Supposons le contraire, c'est-à-dire:

(4.12)

Par le principe du bon ordre, puisque , B doit posséder un plus petit élément que nous

noterons .

Mais puisque de par (P1), nous avons que et bien évidemment aussi que ,

c'est-à-dire aussi . En faisant appel à (P2), nous avons finalement que , c'est-à-

dire que , donc une contradiction.

C.Q.F.D.

Exemple:

Nous souhaitons montrer à l'aide du principe d'induction, que la somme des n premiers carrés est

égale à , c'est-à-dire que pour nous aurions (cf. chapitre de Suites Et

Séries):

(4.13)

D'abord la relation ci-dessus est facilement vérifiée pour nous allons montrer

que vérifie aussi cette relation. En vertu de l'hypothèse d'induction:

(4.14)

nous retrouvons bien l'hypothèse de la validité de la première relation mais avec , d'où le

résultat.

C.Q.F.D.

Ce procédé de démonstration est donc d'une très grande importance dans l'étude de

l'arithmétique; souvent l'observation et l'induction ont permis de soupçonner des lois qu'il eût été

plus difficile de trouver par a priori. Nous nous rendons compte de l'exactitude des formules par la

méthode précédente qui a donné naissance à l'algèbre moderne par les études de Fermat et de

Pascal sur le triangle de Pascal (voir la section d'Algèbre)

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