Notes sur le principe de Noether - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le principe de Noether - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le principe de Noether - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de noether, trois lectures différentes des lois de la physique, le principe de curie.
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vectorielles comme le vecteur position, la vitesse, etc. Pour qu'un tel nombre réel ait le statut de

scalaire il doit être indépendant de l'espace. Ainsi, un vecteur position ne peut manifestement

être considéré comme un scalaire. L'énergie de la particule est un nombre réel mais n'est pas

un scalaire car elle dépend explicitement, dans sa formulation, de la position de la particule

dans l'espace au travers de l'énergie potentielle.

De la même façon, un vecteur n'est pas seulement un être mathématique possédant des

composantes dans une base. Pour jouir du statut de vecteur, une entité mathématique doit se

transformer de la même manière que les vecteurs de base de l'espace vectoriel. Selon cette

définition, le moment cinétique n'est pas un vrai vecteur car, étant la composition par produit

vectoriel de deux vecteurs, il ne se transforme pas comme les vecteurs de base. D'un point de

vue mathématique il s'agit d'un pseudo-vecteur (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le seul vrai vecteur qui reste est la quantité de mouvement car il est construit à l'aide de la

dérivée du vecteur position qui est, bien évidemment, un vrai vecteur. Nous en déduisons que

la seule grandeur susceptible d'être conservée par translation est la quantité de mouvement

totale du système.

Par un raisonnement analogue au précédent, il est possible de supposer quelle grandeur

pourrait être invariante par rotation. Sachant que seuls les scalaires et certains pseudo-vecteurs

sont effectivement invariants par rotation, nous en concluons que la seule grandeur susceptible

d'être conservée lors de rotations est le moment cinétique total du système.

Enfin, toujours par le même raisonnement, l'invariance des lois de la mécanique par

déplacement dans le temps, revient à rechercher les grandeurs conservées par une translation

dans le temps. Ces grandeurs sont les vrais scalaires et les vecteurs sur la droite du temps.

Aucune grandeur mécanique ne peut être assimilée à un vecteur sur la droite du temps. En

revanche, l'énergie est bien un scalaire invariant par translation dans le temps puisque l'énergie

potentielle est par hypothèse indépendante du temps. L'invariance des lois de la mécanique par

déplacement dans le temps laisse donc supposer intuitivement la conservation de l'énergie.

Ces raisonnements ne peuvent évidemment faire office de démonstration mais ils mettent en

évidence une relation étroite entre la géométrie et les propriétés d'invariance d'un système.

THÉORÈME DE NOETHER

Soit L le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'un système représenté par les

2n coordonnées généralisées dans l'espace de configuration. Supposons que ce système

est invariant par la transformation infinitésimale suivante :

(28.53)

Où s est un paramètre réel et continu et pour lequel nous avons :

(28.54)

La fonction agit continûment sur le chemin variationnel selon la démarche intellectuelle

qui sera énoncée en mécanique analytique.

Supposons que les fonctions sont solutions des équations de Lagrange (ce que

démontrerons en Mécanique Analytique). D'après nos hypothèses les fonctions (définies) :

(28.55)

sont dès lors nécessairement également solutions des équations de Lagrange, ce qui se traduit

par (nous omettrons l'indication de la somme par la suite afin d'alléger la lecture!) :

(28.56)

D'autre part, par hypothèse, le lagrangien est invariant pour les transformations du type de

celles décrites par . Il s'ensuit que sa dérivée par rapport au paramètre s est

nécessairement nulle :

(28.57)

Et nous démontrerons par ailleurs aussi en Mécanique Analytique (sous forme d'intégrale

comme étant nulle) la relation :

(28.58)

ce qui peut finalement s'écrire :

(28.59)

mais nous avons aussi de par l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique

Analytique):

(28.60)

Nous obtenons alors :

(28.61)

Donc la grandeur est une constante du mouvement ! Le théorème de Noether s'énonce

alors ainsi :

Soit un système ayant un lagrangien auquel nous appliquons une transformation

infinitésimale , où s est un paramètre réel et continu. Alors il existe une

constante du mouvement notée dont l'expression est donnée par :

(28.62)

Appliquons le théorème de Noether aux cas étudiés précédemment. Fixons un référentiel

arbitraire O cartésien. Notons la base orthonormée de ce référentiel. Considérons un

système constitué de n particules repérées dans O par leur vecteur position . Le lagrangien de

ce système est alors bien évidemment , où distingue les composantes

spatiales des vecteurs .

Supposons maintenant que le système soit invariant par translation de longueur s le long de

l'axe x. La translation le long de cet axe s'écrit comme suit :

(28.63)

La constante du mouvement donnée par application du théorème de Noether est alors :

(28.64)

Nous définirons par ailleurs en mécanique analytique comme étant le moment

conjugué . Nous en déduisons dès lors que la quantité conservée est : , c'est-à-dire la

quantité de mouvement totale du système le long de l'axe x !!!

En procédant de même avec les autres axes, nous démontrerions aisément la conservation de la

quantité de mouvement totale le long des axes pour ceux-ci, ce qui nous permet de conclure

que dans le cas général d'une translation infinitésimale la grandeur

conservée est la quantité de mouvement totale du système.

Supposons maintenant que le système soit invariant par rotation d'un angle

infinitésimal s autour de l'axe z. Cette rotation s'écrit :

(28.65)

La dérivée de par rapport à s donne :

(28.66)

En remarquant encore une fois que , la grandeur conservée obtenue par application du

théorème de Noether est alors :

(28.67)

et nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que :

(28.68)

ce qui nous amène à écrire :

(28.69)

On montrerait de la même façon que l'invariance du lagrangien sous les rotations selon les

autres axes ce qui conduit à la conservation des composantes suivant ces axes du moment

cinétique total du système.

En conclusion, nous avons mis en évidence trois lectures différentes des lois de la physique :

Observation Loi de conservation Signification physique

Invariance des lois de la

physique par translation

Conservation de la quantité

de mouvement

Homogénéité de l'espace : lespace

présente les mêmes propriétés en

tous points

Invariance des lois de la

physique par rotation

Conservation du moment

cinétique

Isotropie de l'espace : lespace

présente les mêmes propriétés dans

toutes les directions

Invariance des lois de la

physique par déplacement dans

le temps

Conservation de l'énergie Homogénéité du temps : les lois de

la nature ne varient pas dans le

temps

Tableau: 28.7 - Lois de convervation

Autrement dit, l'Univers serait :

P1. Homogène (pas d'origine de temps, ou d'espace, privilégiée)

P2. Isotrope (pas de direction privilégiée).

PRINCIPE DE CURIE

Le principe de Curie (que nous devons à Pierre Curie) découle un peu intuitivement du

théorème de Noether et s'énonce ainsi :

Si une cause présente une certaine symétrie ou invariance, alors son effet aura la même

symétrie (ou la même invariance), ou une symétrie supérieure, à condition toutefois que la

solution du problème soit unique.

Remarque: A noter que les éléments de symétrie agissent sur les directions des grandeurs

vectorielles, tandis que les invariances agissent sur les variables dont dépendent ces grandeurs.

Exemple:

Conservation de l'énergie/invariance par translation dans le temps, conservation de la quantité

de mouvement/invariance par translation dans l'espace, conservation du moment

cinétique/invariance par rotation dans l'espace tel que nous l'avons démontré lors de notre

étude du théorème de Noether.

Ainsi, dans un espace homogène et isotrope, si nous faisons subir une transformation

géométrique à un système physique susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors

ces effets subissent les mêmes transformations.

Autrement dit, si un système physique S possède un certain degré de symétrie, nous pourrons

alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Voici les six propriétés de symétrie découlant du principe de Curie :

P1. Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe, les

effets sont indépendants des coordonnées de cet axe (l'intérêt étant alors de travailler en

coordonnées cartésiennes).

P2. Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation autour d'un axe donné, alors ses

effets exprimés ne dépendent pas de l'angle qui définit la rotation (l'intérêt étant alors de

travailler en coordonnées cylindriques).

P3. Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation et rotation, alors ses effets ne

dépendent que de la distance à l'axe de rotation (l'intérêt étant alors aussi de travailler en

coordonnées cylindriques).

P4. Symétrique sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d'un point fixe, alors ses

effets ne dépendent que de la distance à ce point fixe (l'intérêt étant alors de travailler en

coordonnées sphériques).

P5. Plan de symétrie : si S admet un plan de symétrie, alors en tout point de ce plan :

- un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour voir la

définition d'un pseudo-vecteur) lui est perpendiculaire

P6. Plan d'antisymétrie : si, par symétrie par rapport à un plan, S est transformé en -S alors en

tout point de ce plan :

- un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan

La symétrie est fondamentale dans les sciences quelles que soient les disciplines. La symétrie

est partout. Elle permet de décrire de manière précise de nombreux systèmes, de clarifier et de

simplifier l'étude de leurs propriétés. Des résultats très importants peuvent ainsi être prédits de

manière rigoureuse sans que l'on ait à faire appel à des théories mathématiques sophistiquées.

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