Notes sur le principe de superposition - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le principe de superposition - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le principe de superposition - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Erwin Schrödinger, Wojciech Zurek, la théorie de la physique quantique, le formalisme de l'intégrale de che...
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1. Les équations de la physique quantique nous donnent une densité de probabilité de trouver

une particule dans un certain volume de l'espace-temps.

2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter comme le fait qu'il est possible de

trouver une particule en plusieurs points de l'espace-temps à un instant donné, et avec pour

chacun de ces points une certaine probabilité de l'y trouver (par décomposition possible de

l'équation d'onde).

Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant sur ce site, le point (2) est quant à lui

nouveau et découle d'une simple opération mathématique de décomposition ou de

superposition.

Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer l'énergie d'un atome qui se trouve

dans une superposition d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais cette superposition, mais

seulement l'une des énergies qui la constituent, l'action de mesurer fait disparaître la

superposition des états au profit d'un seul - nous parlons alors de "décohérence quantique" (il

s'agite de l'interprétation de Copenhague dont nous avons fait mention au tout début de ce

chapitre). Mais lequel? La physique quantique ne peut tout bonnement répondre à cette

question. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut de prédire l'état précis qui sera

mesuré parmi tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie quantique peut donner la

probabilité qu'on a de mesurer chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes fois jusqu'ici). Si l'on

effectue de nombreuses mesures, on trouve finalement les proportions prédites par la théorie

(même si chaque mesure est imprévisible).

Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon lui) de ces superpositions en ayant recours à

une expérience de pensée devenue célèbre : Imaginez un chat enfermé dans une boîte

hermétique. Dans la boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif capable de

répandre du poison. Quand l'atome radioactif se désintègre, il déclenche le dispositif mortel: le

poison se répand dans la boîte et le chat meurt.

Mais la désintégration radioactive est un phénomène quantique: tant que nous ne l'avons pas

détecté, l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et pas désintégré". Dans la

boîte, le système chat-dispositif à poison-atome doit donc lui aussi, se trouver dans une

superposition des deux états "atome désintégré-chat mort" et "atome intact-chat vivant". Bref,

si nous prenons la physique quantique au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivant

tant que la mesure n'a pas été effectuée.

L'absurdité de cette expérience est manifeste... mais difficile à démontrer, du moins tant que

nous n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours le problème de la

frontière quantique-classique...

Il faudra attendre les années 80 pour que la situation progresse enfin, à la fois sur le front de

l'expérience et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur au laboratoire

national de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend une idée fort simple mais géniale : dans

une mesure, ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction du système avec son

environnement. Plus généralement, les objets quantiques ne sont jamais complètement isolés

de leur environnement - nous entendons par là tout ce qui interagit avec le système: un

appareil, des molécules d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les lois quantiques

doivent s'appliquer à l'ensemble constitué de l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek

démontre que les multiples interactions avec l'environnement entraînent une destruction très

rapide des de la cohérence quantique des superpositions d'états (appelée également

"interférence quantique" puisque mathématiquement l'on traite des fonctions d'onde). En

détruisant les interférences, l'environnement supprime les superpositions d'états et le

comportement quantique du système, de sorte qu'il ne reste plus que des états simples et

qu'on retrouve le comportement classique.

Dans un objet macroscopique - un chat par exemple... - chacun des atomes est environné de

nombreux autres atomes qui interagissent avec lui. Toutes ces interactions provoquent

spontanément un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent très vite. Voilà donc

pourquoi la physique quantique ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes ne sont jamais

isolés!

La vitesse de la décohérence augmente avec la taille du système: un chat qui compte

1027 particules, "décohère" en 10-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais vu de

chats morts-vivants jusqu'à aujourd'hui!

La physique quantique est donc une théorie:

- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle soit considérée comme une théorie de

l'information

- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément plusieurs positions

- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtes superposés au point de ne pouvoir

être considérés séparément.

Un autre excellent exemple de la superposition linéaire des états est une application

remarquable au principe de moindre action.

Considérons une particule quantique allant d'un point à l'instant au point à

l'instant . Nous savons que la probabilité de trouver une particule en un point et en un instant

donnés est reliée au carré du module de la fonction d'onde qui lui est associée. Plaçons-nous

dans le cas le plus simple où la fonction d'onde de la particule est une onde

plane donnée par la fonction solution de l'équation d'évolution de Schrödinger:

(42.518)

où et v sont respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde associée à la

particule.

La particule peut emprunter une infinité de chemins pour se rendre de .

Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C. Nous pouvons découper

le chemin C en un nombre entier de tronçons de durée dt.

(42.519)

Après le parcours du premier tronçon, la fonction d'onde a la valeur suivante:

(42.520)

D'où nous tirons que:

(42.521)

Or, Planck et De Broglie ont établi (postulés) les relations suivantes comme nous l'avons montré

:

et (42.522)

d'où, en remplaçant et v dans la relation précédente nous obtenons :

(42.523)

En appliquant la même technique pour le tronçon suivant nous obtenons:

(42.524)

Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout le long du chemin C nous obtenons alors la valeur

de la fonction d'onde en pour la particule venant de en suivant le chemin C:

(42.525)

Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque tronçon de trajectoire vers zéro. La

quantité tend alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous noterons . La

relation précédente devient alors:

(42.526)

Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que la quantité est

égale au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente, nous obtenons :

(42.527)

où est l'action de la particule ayant parcouru le chemin C.

Notons (sans démonstration) que le module de prend la même valeur pour:

(42.528)

pour tout n. La constante de Planck trouve alors une signification physique directement liée à

l'action de la particule !

Rappelons la condition de normalisation de De Broglie:

(42.529)

qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant de à l'instant , se trouve

en à l'instant en ayant emprunté le chemin C.

La probabilité totale est donc :

(42.530)

pour trouver la particule partie de à l'instant en à l'instant nécessite de calculer la

somme des contributions de chaque chemin soit (en appliquant le principe de superposition

linéaire puisque nous effectuons un somme des fonctions d'onde) :

(42.531)

Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman. En première analyse elle semble diverger

dans la mesure où il existe une infinité de chemins possibles entre deux points. Regardons de

plus près ce qui se passe. Plaçons-nous dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La

valeur de l'action est alors beaucoup plus grande que et varie beaucoup d'un chemin à un

autre, sauf pour les chemins proches du chemin physique classique pour lesquels la variation

est quasiment nulle (application de l'énoncé variationnel du principe de moindre action).

Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans l'intégrale de chemin,

leurs contributions sont destructives et donc tendent à s'annuler, sauf dans le cas des chemins

proches du chemin physique classique où les contributions s'ajoutent. Il s'ensuit que l'intégrale

de chemin prend la valeur de l'action classique, indiquant que la physique quantique permet de

retrouver les lois de la mécanique classique à l'échelle macroscopique.

(42.532)

La situation devient très différente à l'échelle quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de

l'action dont l'ordre de grandeur est celui de la constante . Une infinité de chemins apporte

alors des contributions non destructives. Feynman a pu montrer que l'intégrale de chemin

convergeait mais d'un autre côté, il n'est plus possible de prédire quel chemin la particule va

emprunter au point que la notion même de chemin s'évanouit. Ainsi à l'échelle quantique la

particule semble chercher son chemin parmi tous ceux qui sont possibles mais à l'échelle

macroscopique, ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la particule de trouver le "bon

chemin".

Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon très originale d'aborder et

d'interpréter la physique quantique qui s'est ajouté à ceux qui avaient été développés par

Schrödinger.

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