Notes sur le produit scalaire vectoriel, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le produit scalaire vectoriel, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le produit scalaire vectoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, Démonstration, l'inégalité de cauchy-schwarz, l'inégalité triangulaire, le produit scalaire (général).
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Produit scalaire vectoriel

Définition: Un "espace vectoriel euclidien", est un espace vectoriel (réel et de dimension finie pour

les puristes) possédant une opération particulière, le "produit scalaire" que nous noterons

(notation spécifique à ce site Internet) en ce qui concerne le cas particulier des vecteurs :

(12.52)

Remarques:

R1. Nous trouvons dans certains ouvrages (pour information) la notation ou

encore lors de la généralisation de cette définition comme nous le verrons un peu plus loin.

R2. Le produit scalaire à une importance énorme dans l'ensemble du domaine des mathématiques et

de la physique, ainsi nous le retrouvons dans le calcul différentiel et intégral (de par le produit

scalaire fonctionnel), en topologie, en physique quantique en analyse du signal etc... il convient

donc de bien comprendre ce qui va suivre.

R3. Le produit scalaire peut être vu comme une projection de la longueur d'un vecteur sur la

longueur d'un autre.

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes (dont la plupart découlent de la définition

même du produit scalaire) dans un espace euclidien:

P1. Commutativité :

P2. Associativité :

P3. Distributivité :

P4. Si

P5. et si

P6.

Seule cette dernière propriété nécessite peut-être une démonstration (de plus un des résultats de

la démonstration nous servira à démontrer une autre propriété très importante du produit

scalaire):

Démonstration:

Soit :

(12.53)

qui constitue la "projection orthogonale vectorielle" (le v en indice duproj signifiant "vectoriel) du

vecteur sur la normalisation à l'unité du vecteur .

A l'aide du produit scalaire, le vecteur peut être exprimé autrement il suffit de prendre la

relation que nous avons vu plus haut:

(12.54)

et de l'introduire dans avec les vecteurs adéquats pour obtenir :

(12.55)

Cette expression vaut également dans le cas où est nul, à condition d'admettre que la

projection orthogonale de vecteur nul est nul.

La norme de s'écrit :

(12.56)

Si est unitaire, les relations de projections précédentes se simplifient et deviennent :

et (12.57)

Par des considérations géométriques élémentaires (distributivité du produit scalaire), il est facile

de se rendre compte que :

et (12.58)

Si nous revenons maintenant à la démonstration de :

(12.59)

Nous avons donc dans un premier temps:

(12.60)

et d'après la définition la propriété de la projection orthogonale il vient alors immédiatement en

faisant la correspondances terme à terme:

(12.61)

d'où la propriété P6 qui s'ensuit par multiplication des deux membres de l'égalité par .

C.Q.F.D.

Définitions:

D1. L'espace vectoriel E est dit "espace vectoriel proprement euclidien" si

D2. Nous disons que les vecteurs et sont des "vecteurs orthogonaux" s'ils sont non nuls et

que leur produit scalaire est nul (leur angle est égal à ).

Une base de V est dite "base orthonomormale" si les vecteurs sont

orthogonaux deux à deux et unitaires (donc constituant une famille libre).

Remarque: Nous verrons en calcul tensoriel (nous aurions pu le faire ici aussi mais bon...) comment

à partir d'un ensemble de vecteurs indépendants construire une base orthogonale. C'est ce que le

lecteur pourra trouver sous le nom de "méthode d'orthogonalisation de (Grahm-)Schmidt".

Par le raisonnement géométrique, nous voyons que tout vecteur est la somme de ses projections

orthogonales sur les vecteurs d'une base orthonormale, autrement dit, si est une base

orthonormale:

(12.62)

Cette décomposition s'obtient également par la propriété de P6 du produit scalaire. En

effet, étant les composantes de :

(12.63)

puisque et de même :

et (12.64)

d'où la décomposition.

Soit et les composantes respectives des vecteurs et dans une base

orthonormale canonique nous pouvons écrire le produit scalaire sous la forme :

(12.65)

de la propriété P6 du produit scalaire :

(12.66)

en utilisant la propriété P1 et à nouveau P6 :

(12.67)

Ce qui nous donne finalement la décomposition :

(12.68)

qui constitue l'une des relations les plus importantes dans le domaine du calcul vectoriel et que

nous appelons "produit scalaire canonique".

INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ

La relation:

(12.69)

s'écrit également trivialement sous la forme suivante si nous utilisons la notion de norme et la

définition du produit scalaire :

(12.70)

Il est intéressant de remarque que si les deux vecteurs et sont orthogonaux, nous retrouvons

le résultat d'un théorème fameux: le théorème de Pythagore!

Effectivement, dès lors nous avons si les deux vecteur sont orthogonaux:

(12.71)

Ce qui nous donne:

(12.72)

Cette relation est très importante en physique-mathématique. Il faut s'en souvenir !

Nous appelons également "inégalité de Cauchy-Schwarz" l'inégalité, valable pour tout choix des

vecteurs et , la relation :

(12.73)

Ce qui s'écrit aussi :

(12.74)

D'abord nous considérerons comme évident que l'égalité n'a lieu qu'en cas de colinéarité des deux

vecteurs.

Démonstration:

Nous nous plaçons dans le cas où . Alors, pour nous avons trivialement selon les

propriétés du produit scalaire :

(12.75)

Il s'agit donc d'une simple équation du deuxième degré où la variable est . En se rappelant de ce

que nous avons vu lors de notre étude des polynômes du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul

Algébrique) la relation précédente (le fait qu'elle soit toujours supérieure ou égale à zéro) est

satisfaite que si le discriminant est négatif ou nul. En d'autres termes, si :

(12.76)

Soit après simplification :

(12.77)

C.Q.F.D.

Lorsque E est , l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit avec les composantes des vecteurs :

(12.78)

Dans le cas particulier où elle devient:

(12.79)

ou encore:

(12.80)

ce qui montre que le carré de la moyenne arithmétique est inférieur ou égal à la moyenne

arithmétique des carrés. Ce résultat est important pour l'étude des statistiques.

Par ailleurs, en vertu de la propriété du cosinus et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous pouvons

écrire:

(12.81)

relation que nous retrouvons également dans le cadre de l'étude des statistiques (cf. chapitre de

Statistiques).

INÉGALITÉ TRIANGULAIRE

En majorant par (de par l'inégalité de Cauchy-Schwarz!) et en mettant ceci dans la

relation établie déjà précédemment:

(12.82)

Nous obtenons:

(12.83)

ce qui entraîne la fameuse "inégalité triangulaire" (très utile dans l'étude des suites et séries pour

l'étude des convergences ainsi qu'en topologie) :

(12.84)

Remarque: La généralisation de cette inégalité relativement aux propriétés des normes telles que

nous le verrons en topologie, donne ce que nous appelons "l'inégalité de Minkowski".

En appliquant une fois l'inégalité triangulaire aux vecteurs et et une autre fois aux

vecteurs et nous obtenons la variante :

(12.85)

PRODUIT SCALAIRE (GÉNÉRAL)

Voyons maintenant une autre manière un peu plus générale (s'appliquant à des vecteurs ou

fonctions), formelle et abstraite pour définir le produit scalaire tout en tentant de rester le plus

simple possible (attention dans le cas général la notation du produit scalaire change!) :

Définition: Soit E un espace vectoriel réel (!). Une "forme bilinéaire symétrique positive" sur E, est

une application :

(12.86)

qui vérifie (par définition!):

P1. La positivité :

(12.87)

P2. La nullité (définie) :

(12.88)

P3. La symétrie :

(12.89)

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) avec, dans l'ordre, la "linéarité à gauche" et la "linéarité à

droite":

(12.90)

Remarque: A nouveau, ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de

l'espace euclidien et de son interprétation géométrique.

Définition: Un espace E muni d'un produit scalaire est appelé un "espace préhilbertien". Si E est de

dimension finie, nous parlons alors "d'espace euclidien".

Nous avons vu en topologie (cf. chapitre de Topologie) que les propriétés du produit scalaire sont

les briques de bases pour définir une norme et donc une distance dans un espace métrique. Cette

distance sera alors donnée selon ce que nous avons obtenu en topologie :

(12.91)

Définition: Nous disons qu'un espace E muni d'un produit scalaire est un "espace Hilbertien"

ou "espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

En d'autres termes, avoir un espace métrique muni donc d'une distance générée par un produit

scalaire est une chose. Ensuite, avoir une distance mesurable en est une autre. Un espace de

Hilbert a donc des distances mesurables au sens topologique du terme car l'ensemble sur lequel

on travaille est continu et n'importe quel point peut-être approché indéfiniment (imaginez avoir

une règle et que vous ne pouvez pas avec cette règle approcher les points qui définissent les

dimensions de votre objet... ce serait gênant...). Donc sans espace complet une grande partie des

théorèmes de l'analyse fonctionnelle ne pourraient pas être utilisés dans l'étude des espaces

vectoriels et cela serait très gênant en physique quantique ondulatoire par exemple...

Formellement, rappelons qu'un espace métrique est complet si toutes les suites de Cauchy (cf.

chapitre des Suites Et Séries) de cet espace sont convergentes (cf. chapitre sur les Fractals) dans

un espace métrique (cf. chapitre de Topologie).

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