Notes sur le produit vectoriel, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le produit vectoriel, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le produit vectoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le produit vectoriel de deux vecteurs, les définitions, les démonstrations, le produit mixte.
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PRODUIT VECTORIEL

Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération propre à la dimension 3. Pour l'introduire,

il faut préalablement orienter l'espace destiné à le recevoir. L'orientation étant définie au moyen de

la notion de "déterminant", nous commencerons par une brève introduction à l'étude de cette

notion. Cette étude sera reprise plus tard dans le détail lors de l'analyse des systèmes linéaires

dans le chapitre d'algèbre linéaire.

Définition: Nous appelons "déterminant" des vecteurs-colonnes de (pour la forme générale du

déterminant se reporter au chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(12.92)

et nous notons:

(12.93)

le nombre (produit soustrait en croix) :

(12.94)

Nous appelons déterminant des vecteurs-colonnes de (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

(12.95)

et nous notons :

(12.96)

le nombre :

(12.97)

Ainsi, la fonction qui associe à tout couple de vecteurs-colonnes de (à tout triplet de

vecteurs-colonnes de ) son déterminant est appelé "déterminant d'ordre 2" (respectivement

d'ordre 3).

Le déterminant a comme propriété d'être multiplié par -1 si l'un de ses vecteurs colonnes est

remplacé par son opposé ou si deux de ses vecteurs-colonnes sont échangés (la vérification étant

simple nous nous abstiendrons de la démonstration, sauf sur demande). En plus, le déterminant

est non nul si et seulement si ses vecteurs-colonnes sont linéairement indépendants (la

démonstration se trouve quelques lignes plus bas et est d'une grande importance en

mathématique).

Définition: Soit et les composantes respectives des vecteurs et dans la

base orthonormale . Nous appelons "produit vectoriel" de et , et nous notons

indistinctement:

(12.98)

le vecteur :

(12.99)

ou sous forme de composantes :

(12.100)

Remarques:

R1. La première notation est la notation internationale due à Gibbs (que nous utiliserons tout au

long de ce site), la deuxième est la notation français due à Burali-Forti (assez embêtant car se

confond avec l'opérateur ET en logique).

R2. Il est assez embêtant de retenir par coeur les relations qui forment le produit vectoriel

habituellement. Mais heureusement il existe au moins trois bons moyens mnémotechniques :

1. Le plus rapide consiste à retrouver l'une des expressions des composantes du produit vectoriel et

ensuite par décrémentation des indices (en recommencent à 3 lorsque qu'on arrive à 0) de connaître

toutes les autres composantes. Encore faut-il trouver un moyen simple de se souvenir d'une des

composantes. Un bon moyen est la propriété mathématique suivante de deux vecteur colinéaires

permettant facilement de retrouver la troisième composante (celle selon l'axe Z) :

Soit deux vecteurs colinéaires dans un même plan, alors :

(12.101)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la troisième composante du produit vectoriel de deux

vecteurs (non nécessairement colinéaires... eux!).

2. La seconde mais que nous verrons lors de notre étude du calcul tensoriel consiste à utiliser le

symbole d'antisymétrie (également appelé "tenseur de Levi-Civita"). Cette méthode est

certainement la plus esthétique d'entre toutes mais pas nécessairement la plus rapide à développer.

Nous donnons ici juste l'expression sans plus d'explications pour l'instant (elle est également utile

pour l'expression du déterminant par extension) :

(12.102)

3. Cette dernière méthode est assez simple et triviale aussi mais elle utilise implicitement la

première méthode: lai-ème composante est le déterminant des deux colonnes privées de

leur i-ème terme, le deuxième déterminant étant cependant pris avec le signe "-" tel que :

(12.103)

Il est important, même si c'est relativement simple, de se rappeler que les différents produits

vectoriels pour les vecteurs d'une base orthogonale sont :

(12.104)

Le produit vectoriel jouit aussi propriétés suivantes que nous allons démontrer :

P1. Antisymétrie :

(12.105)

P2. Linéarité :

(12.106)

P3. Si et seulement si et sont linéairement indépendants (très important !) :

(12.107)

P4. Non associativité :

(12.108)

Les deux premières propriétés découlent directement de la définition et la propriété P4 se vérifié

aisément en développant les composantes et en comparant les résultats obtenus.

Démontrons alors la troisième propriété qui est très importante en algèbre linéaire.

Démonstration:

Soient deux vecteurs et . Si les deux vecteurs sont linéairement

dépendants alors il existe tel que nous puissions écrire:

(12.109)

Si nous développons le produit vectoriel des deux vecteurs dépendants à un facteur près, nous

obtenons:

(12.110)

Il va sans dire que le résultat ci-dessus est égal au vecteur nul si effectivement les deux vecteurs

sont linéairement dépendants.

C.Q.F.D.

Si nous supposons maintenant que les deux vecteurs et sont linéairement indépendants et

non nuls, nous devons démontrer que le produit vectoriel est:

P3.1. Orthogonal (perpendiculaire) à et

P3.2. De norme , où est l'angle entre et

Démonstration:

Commençons par la première propriété P3.1 (première importance en physique!) :

(12.111)

ce qui montre bien que le vecteur est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel

entre et !

C.Q.F.D.

Terminons avec la deuxième propriété P3.2 (aussi de première importance en physique!) :

Démonstration:

Soit le carré de la norme du produit vectoriel . D'après la définition du produit vectoriel

nous avons:

(12.112)

Donc finalement:

(12.113)

C.Q.F.D.

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit

vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants et d'origine

commune.

(12.114)

Si et sont linéairement indépendants, le triplet et donc aussi le

triplet sont directs.

En effet, étant les composantes de (dans la base ), le déterminant de

passage de à (par exemple) s'écrit:

(12.115)

Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des n'est pas nul, d'après la troisième

propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.

Voici encore quelques propriétés très importantes d'utilité pratique du produit vectoriel (en

physique particulièrement) qui sont triviales à vérifier si les développements sont effectués (nous

pouvons les faire sur demande si jamais!) :

P1.

Remarque: Cette relation est appelée la "règle de Grassmann" et il est important de noter que sans

les parenthèses le résultat n'est pas unique.

P2.

P3.

P4.

P5.

PRODUIT MIXTE

Nous pouvons étendre la définition du produit vectoriel à un autre type d'outil mathématique que

nous appelons le "produit mixte" :

Définition: Nous appelons "produit mixte" des vecteurs x, y, z le double produit :

(12.116)

souvent condensé sous la notation suivante :

(12.117)

D'après ce que nous avons vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel , le produit mixte

peut également s'écrire :

(12.118)

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel eucliden , la valeur absolue du

produit mixte symbole le volume (orienté) du parallélépipède, construit sur des

représentants x, y, z d'origine commune.

Remarque: Il est assez trivial que le produit mixte est une extension à 3 dimension du produit

vectoriel. Effectivement, dans l'expression du produire mixte, le produit vectoriel représente la

surface de base du parallélépipède et le produit scalaire projette un des vecteurs sur le vecteur

résultant du produit vectoriel ce qui donne la hauteur h du parallélépipède.

De par les propriétés de commutativité du produit scalaire, nous avons :

(12.119)

et le lecteur vérifiera sans aucune peine (nous le ferons s'il y a demande) en développant les

composantes que :

(12.120)

Le produit mixte jouit également des propriétés que le lecteur ne devrait avoir aucun mal à vérifier

en développant les composantes mis à part peut-être P3 qui découle des propriétés du produit

scalaire et vectoriel (nous pouvons développer sur demande si jamais!) :

P1.

P2.

P3. si et seulement si x, y, z sont linéairement indépendants

P4.

Remarque: Nous reviendrons sur le produit mixte lors de notre étude du calcul tensoriel car il

permet d'arriver à un résultat très intéressant en particulier en ce qui concerne la relativité générale!

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