Notes sur le quadrivecteur accélération - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le quadrivecteur accélération - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur le quadrivecteur accélération - 1° partieLes principaux thèmes abordés sont les suivants:l'expression du quadrivecteur accélération,la relation,les remarques.
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QUADRIVECTEUR ACCÉLÉRATION

Ayant obtenu précédemment une quadrivecteur vitesse transformable à l'aide de la matrice de

Lorentz cherchons aussi l'équivalent pour l'accélération. Le quadrivecteur accélération s'exprime

naturellement comme la dérivée par rapport au temps propre de la quadrivitesse tel que:

(49.86)

Remarque: Attention!! Si le lecteur a compris les développements jusqu'à maintenant,

l'accélération que nous cherchons à calculer est celle d'un objet accéléré dans un des référentiels

en mouvement relatif par rapport à un autre (ce ne sont donc pas les référentiels qui sont en

mouvement accéléré ici!!).

Il faudra d'abord que le lecteur admette (nous le démontrons cependant un peu plus loin) que :

(49.87)

Dès lors, nous avons :

(49.88)

Si nous introduisons l'accélération ordinaire nous voyons que :

(49.89)

alors :

(49.90)

En utilisant la relation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(49.91)

nous trouvons que le quadrivecteur accélération peut être écrit :

(49.92)

Le vecteur :

(49.93)

est appelé "quadrivecteur accélération" et se transforme donc aussi à l'aide de la matrice de

Lorentz.

Nous voyons que si et cette dernière relation se simplifie en :

(49.94)

Nous retrouvons donc l'accélération classique.

En utilisant la métrique de Minkowski (voir sa définition plus loin), notée calculons la norme

du quadrivecteur accélération :

(49.95)

Remarque: Il faut bien comprendre que quand nous écrivons il s'agit dans ce

cas implicitement de la somme du carré des composantes du calcul entre la parenthèse.

Et comme :

(49.96)

nous rassemblons cela :

(49.97)

Maintenant, nous développons la somme de la grosse parenthèse qui devient dès lors :

(49.98)

Nous simplifions :

(49.99)

d'où :

(49.100)

Or, nous avons la relation :

(49.101)

et la propriété du produit vectoriel :

(49.102)

Ce qui nous donne finalement :

(49.103)

Imaginons maintenant un objet avec un mouvement relatif uniformément

accéléré (accélération constante) dans notre propre référentiel. Si nous supposons notre

référentiel fixe, nous avons . Dès lors :

(49.104)

In extenso, si le mouvement accéléré ne se fait que le long d'une seule composante :

(49.105)

Or, nous avons aussi :

(49.106)

Donc finalement, nous pouvons écrire :

(49.107)

Ce qui après intégration donne :

(49.108)

Nous voyons que la vitesse u n'atteint jamais c alors que la force est toujours la même!

Nous avons donc :

(49.109)

ce qui nous donne :

(49.110)

Après réarrangement, nous écrivons cela :

(49.111)

Nous sommes bien loin de la relation du mouvement uniformément accéléré que nous avions

en mécanique classique. Cependant, pour t proche de zéro, nous retrouvons la relation de la

mécanique classique en prenant le développement de Taylor au deuxième ordre de la racine (cf.

chapitre Suites Et Séries) :

(49.112)

Cependant, ceci ne nous donne pas les relations de transformations de composantes de

l'accélération sous une forme simple. Voyons donc comment les obtenir.

Rappelons d'abord que nous avions obtenu pour la vitesse :

(49.113)

Il vient en les différentiant :

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