Notes sur le quadrivecteur déplacement 1° Partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le quadrivecteur déplacement 1° Partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur e quadrivecteur déplacement 1° Partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations de "transformation de Lorentz", la "matrice de Lorentz", le quadrivecteur déplacement, INVARIAN...
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Nous en tirons les relations de "transformation de Lorentz" pour passer des valeurs mesurées

par O' et celles mesurées par O et inversement :

(49.37)

qui ont par ailleurs comme propriété d'être covariantes (se traduisent comme par des relations

ayant même structure lors d'un changement de référentiel Galiléen).

Remarque: Si v est beaucoup plus petit que c nous retrouvons la transformation de Galilée.

Nous pouvons aussi écrire les dernières relations sous la forme (le lecteur remarquera que les

unités de tous les termes à gauche de l'égalité sont toutes identiques- il s'agit à chaque fois

d'une distance!) :

(49.38)

Nous pouvons alors mettre les transformations de Lorentz des coordonnées et du temps sous

la forme matricielle (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) traditionnelle suivante qui définit la "matrice

de Lorentz" ou de "matrice de Lorentz-Poincaré":

(49.39)

et réciproquement :

(49.40)

ce qui donne :

(49.41)

sous forme indicielle cela est plus fréquemment noté :

(49.42)

ce qui sous forme tensorielle s'écrit :

ou (49.43)

Il s'agit de la forme traditionnelle chez les physiciens de l'expression de changement de

référentiel localement inertiel par une transformation de Lorentz.

Remarque: Nous retrouvons le tenseur (la matrice) de transformation de Lorentz dans certains

ouvrages sous la forme condensée voir parfois ou encore .

Le vecteur :

(49.44)

est appelé le "quadrivecteur d'espace-temps" ou encore "quadrivecteur déplacement".

Remarquons que puisque :

(49.45)

la transformation par la matrice conserve donc la norme. En termes, géométriques il s'agit

donc d'une isométrie.

INVARIANCE DE L'ÉQUATION D'ONDE

Maintenant que nous avons déterminé les transformations de Lorentz, nous pouvons contrôler

si l'équation d'onde est invariante relativement à ces dernières (rappelons que nous avons

démontré plus haut qu'elle n'était pas invariante à une transformation Galiléenne).

Partant de la transformation de Lorentz écrite en clair :

(49.46)

nous calculons les dérivées partielles par rapport à x et t (l'expression après la deuxième

égalité ayant été démontrée plus haut dans ce chapitre):

(49.47)

Ces relations peuvent aussi s'écrire :

(49.48)

Au carré :

(49.49)

Dans les équations de Maxwell, ou plutôt dans l'équation de propagation du champ électrique

ou magnétique dans le vide, nous avons montré (cf. chapitre d'Électrodynamique) que

l'opérateur suivant apparaissait :

(49.50)

En substituant les expressions différentielles précédentes :

(49.51)

Nous avons donc bien :

(49.52)

qui montre qu'une transformation de Lorentz laisse invariant cet opérateur (Jackpot!). Nous

avons donc obtenu ce que nous cherchions!

interprétation hypergéometrique

Revenons maintenant à nos transformations de Lorentz. Rappelons que nous nous sommes

restreints au cas particulier où les axes d'espaces étaient parallèles (ce qui nous avait amené à

définir le terme "transformations de Lorentz pures"). Cette configuration spéciale a une

propriété géométrique intéressante dont parfois dont de nombreux ouvrages font usage.

Voyons de quoi il s'agit :

Nous avons vu dans le cadre des transformations de Lorentz des longueurs que nous avions

une transformation spéciale (boost) que selon l'axe Ox, ayant pour les autres

composantes . Ce qui nous permet tout à fait de réduire la matrice de

transformation que nous avions à une matrice plutôt que comme nous l'avions

obtenu plus haut :

(49.53)

Les propriétés A, B, C, D de ses composantes sont telles que :

(49.54)

La première relation peut être mise en relation avec une des relations remarquables de la

trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie) tel que :

et (49.55)

la deuxième qu'il existe tel que :

et (49.56)

Remarque: Le choix du signe "-" pour C et B sont utiles car comme nous avons

toujours (de même pour qui est strictement positif) cela nous imposera à la fin des

calculs d'avoir . Dès lors, comme et la seule manière pour que C (ainsi

que B) puisse être négatif c'est de mettre un "-".

La troisième donne alors la relation d'addition remarquable :

(49.57)

et donc que nous noterons plus simplement . Ce qui valide les relations :

(49.58)

Finalement les transformations de Lorentz spéciales de vitesse v suivant l'axe X peuvent aussi

s'écrire :

(49.59)

ce qui nous amène à écrire :

et (49.60)

La quantité (sans dimensions) est appelée "rapidité" par ceux qui l'utilisent en physique des

hautes énergies. Nous nous arrêterons ici en ce qui concerne l'étude géométrique de la

relativité restreinte trouvant que cela à de moins en moins d'intérêt de procéder ainsi (bien que

ce soit fort sympathique).

QUADRIVECTEUR VITESSE

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