Notes sur le quadrivecteur déplacement 2° Partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le quadrivecteur déplacement 2° Partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le quadrivecteur déplacement 2° Partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: considérations, QUADRIVECTEUR COURANT.
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Nous pouvons de même déterminer les transformations de Lorentz des vitesses. Considérons

une particule en mouvement dans le référentiel inertiel O' tel qu'au temps t', ses coordonnées

sont x', y', z'.

(49.61)

Dès lors, les composantes de la vitesse v' sont :

(49.62)

Quelles sont alors les composantes dans la vitesse dans O (rappelons que O s'éloigne à

vitesse v) ?

A nouveau, nous écrivons :

(49.63)

Nous pouvons différentier les équations de transformation des composantes que nous avons

obtenus avant et ainsi pouvons écrire :

(49.64)

Dès lors, nous avons :

(49.65)

et de même :

(49.66)

et :

(49.67)

Et comme la vitesse constante du référentiel O' est donné par , nous avons alors :

(49.68)

et inversement :

(49.69)

Dans la limite de la mécanique classique, où la vitesse de la lumière était supposée comme

instantanée et donc , nous avons :

(49.70)

qui sont les transformations de Galilée telles que nous les avons vues en mécanique classique.

Comme nous pouvons le voir, les transformations des vitesses ne suivent pas trop la forme de

la matrice de Lorentz que nous avions déterminé plus haut pour les coordonnées. Les

physiciens, n'aimant pas ce qui est inhomogène, ont cherché à avoir les mêmes transformations

pour les deux.

Ainsi, reprenons les relations de transformation des vitesses et récrivons les tels que ci-

dessous :

(49.71)

Ces relations peuvent s'écrire différemment si nous calculons :

(49.72)

Soit en simplifiant un peu :

(49.73)

Posons :

(49.74)

et :

(49.75)

et :

(49.76)

Avec cette notation, la relation :

(49.77)

s'écrit :

(49.78)

En procédant de même pour chacune des composantes, nous aurons au total :

(49.79)

et nous avons atteint ici notre objectif d'homogénéisation qui nous permet d'écrire si nous

posons :

(49.80)

ce qui sous forme tensorielle s'écrit :

ou (49.81)

Le vecteur :

(49.82)

est quant à lui appelé le "quadrivecteur vitesse".

QUADRIVECTEUR COURANT

Nous avons défini naturellement lors de notre introduction du tenseur du champ

électromagnétique (cf. chapitre d'Électrodynamique) le quadrivecteur courant :

(49.83)

que nous pouvons écrire :

(49.84)

Dès lors, en considérant comme la densité de charge dans le référentiel propre se déplaçant

à la vitesse vpar rapport au référentiel O'. Du fait de la contraction des longueurs dans la

direction de la vitesse, le volume occupé par une charge donnée sera multipliée par le

facteur de sorte que :

(49.85)

qui n'est d'autre que le "quadrivecteur courant" où nous retrouvons le quadrivecteur vitesse

déterminé précédemment.

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