Notes sur le radian, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le radian, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur la notion de radian. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: définition et notion, les exemples.
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La trigonométrie fait partie intégrante de la science de la géométrie. Cette première ayant pour racine "mesure de la terre" la trigonométrie a pour racine "mesure des corps à trois angles

(trigone)".

Remarques:

R1. Il existe actuellement trois trigonométries connues (définies) couramment utilisées en

mathématique : la trigonométrie du cercle (assimilée à l'étude des "fonctions circulaires"), la

trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie sphérique. Nous proposons dans le présent texte une

tentative d'approche relativement rigoureuse de toutes les relations les plus connues dans ces trois

domaines.

R2. Nous ne traiterons par contre pas ici des trigonométries quadratique et rhombique qui sont

utilisées par les électroniciens et qui n'ont peu voir pas d'intérêt en physique théorique. La même

remarque est valable pour la trigonométrie lemniscatique qui est en relation avec les mathématiques

pures et en particulier la fonction zêta de Riemann.

R3. Le lecteur qui chercherait la démonstration des dérivées et intégrales des fonctions

trigonométriques définies ci-après devra se reporter au chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral

(cf. section d'Algèbre) où les dérivées et intégrales des fonctions usuelles que nous pouvons trouver

dans les formulaires sont toutes démontrées.

RADIAN

Quand nous parlons de trigonométrie, la première chose qui devrait venir à l'esprit et s'imposer

comme tel comme standard de mesures d'angles plans (voir le chapitre de géométrie plane pour la

définition du concept d'angle) est la notion de "radians".

Définition: 1 "radian" (noté [rad]) est l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par

son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et

la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle.

Par exemple, pour un cercle de rayon donc de circonférence (ou périmètre P) la

longueur de l'arc de cercle définit par une sécante ayant une angle de 1 radian par rapport à

l'horizontale passant par le centre du cercle sera égale à 1.

Dès lors il vient que l'angle pour "un tour" du cercle sera de :

(20.1)

L'exemple précédent se généralise à un cercle de rayon R quelconque car l'angle pour un tour

complet sera toujours et pour un demi-tour de pour un quart de ...

Malheureusement dans les écoles, les professeurs du primaire apprennent encore aux enfants à

mesurer les angles en degrés. Heureusement la conversion à faire n'est pas trop difficile... (c'est

une simple règle de trois).

Soit r la mesure d'un angle en radians, d la mesure du même angle en degrés et g la mesure du

même angle en grades (vieille unité) nous avons par définition :

(20.2)

Les astronomes et astrophysiciens aiment bien parler en minutes ou secondes d'arc tel que :

(minutes d'arc) (secondes d'arc) (20.3)

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