Notes sur le rayonnement synchrotron - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le rayonnement synchrotron - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le rayonnement synchrotron - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une charge en mouvement uniforme rectiligne, les potentiels de liénard-wiechert,
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RAYONNEMENT SYNCHROTRON

Considérons une charge en mouvement uniforme rectiligne. Les champs électrique et

magnétique d'une telle charge ont été étudiés dans les chapitres précédents. Nous avons

également démontré plus haut que le champ magnétique est dans cette configuration, toujours

perpendiculaire au champ électrique. La première conséquence est que le champ électrique est

radial et le champ magnétique transversal.

Donc si nous entourons la particule en mouvement d'une surface sphérique fermée imaginaire,

nous avons alors trivialement (voir la définition du vecteur de Poynting) :

(37.250)

puisque effectivement, en tout point de la surface, en est perpendiculaire, tangent,

donc tangent aussi et donc l'angle entre et est égal à un angle droit donc le

produit scalaire est nul.

Donc en conclusion le flux total d'énergie rayonnée est nul pour une charge en mouvement

rectiligne uniforme. Autrement dit, une charge en mouvement rectiligne uniforme, ne rayonne

pas d'énergie électromagnétique mais transporte avec elle l'énergie du champ

électromagnétique (nous voilà rassuré!). Ceci est confirmé par les observations expérimentales.

Cependant, la situation est très différente pour une charge en mouvement accéléré. Le champ

électrique d'une charge accélérée n'est plus radial et ne possède plus la symétrie par rapport à

la charge qu'il possède lorsque le mouvement est uniforme (nous allons le démontrer).

Conséquence... une charge électrique accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique et donc

voit son énergie cinétique diminuer !

Une conclusion importante est qu'il faut, pour maintenir une charge en mouvement accéléré,

fournir de l'énergie pour compenser celle perdue par rayonnement. Si la particule au lieu d'être

accélérée est décélérée (c'est typiquement ce que nous cherchons à faire en radioprotection) à

nouveau la particule va émettre de la même manière le même rayonnement (nous allons aussi le

démontrer). C'est ce qui ce produit, par exemple, lorsqu'une charge, telle qu'un électron ou un

proton, heurte une cible à grande vitesse. Une fraction substantielle de son énergie totale s'en

va sous forme d'un rayonnement appelé "rayonnement de freinage" ou plus communément

"bremsstrahlung" (de l'allemand Bremsung : freinage; et Strahlung : rayonnement).

Les équations que nous allons déterminer restent valable pour n'importe quel type de

mouvement accéléré relativiste ou non. Par exemple, une particule chargée se déplaçant sur

une orbite circulaire est soumise à une accélération centripète et émet donc du rayonnement.

Par conséquent, lorsqu'un ion est accéléré dans un accélérateur cyclique, comme un cyclotron,

un bêtatron ou un synchrotron, une fraction de l'énergie qui lui est fournie est perdue sous

forme de rayonnement électromagnétique, cet effet étant relativement plus important dans les

accélérateurs cycliques que dans les accélérateurs linéaires.

Quand les charges atteignent des énergies très élevées, comme cela se produit dans les

synchrotrons où l'accélération est grande (heureusement pour nous car cela nous permettre de

faire une petite approximation fort utile...), les pertes dues au rayonnement, appelé

"rayonnement synchrotron", deviennent importantes et constituent une limitation sérieuse dans

la construction d'accélérateur cycliques de très haute énergie mais restent cependant infiniment

utiles à l'industrie de pointe.

Une autre considération importante se rapport à la structure atomique. Selon le modèle

atomique de Rutherford (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous imaginons

l'atome comme formé d'un noyau central chargé positivement, les électrons chargés

négativement décrivant autour de lui des orbites fermées. Mais ceci implique, que les électrons

se déplacent suivant un mouvement ayant une accélération et, si nous appliquons les idées

développées jusqu'à maintenant, tous les atomes devraient rayonner continuellement de

l'énergie (même en l'absence de source d'énergie extérieure comme le Soleil). Par suite de cette

perte d'énergie, les orbites électroniques devraient se contracter, amenant à une réduction

correspondante de la taille de tous les corps. Heureusement pour nous, cela ne s'observe pas

(la matière ne s'effondre pas sur elle-même) mais cela nous amène donc à supposer dans le

cadre du modèle de Rutherford que les mouvements des électrons dans les atomes est

gouverné par certains principes supplémentaires que nous n'avons pas encore envisagés. C'est

ce qui nous amènera à créer le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique

Corpusculaire) mais qui aura, lui aussi comme ne le verrons, d'autres défaut.

Pour déterminer l'énergie émise par une charge en mouvement accéléré nous allons devoir faire

usage d'outils mathématique qui ne sont plus du même niveau que ceux utilisés

précédemment. Il est donc conseillé que le lecteur ait un bon bagage mathématique. Par

ailleurs, exceptionnellement nous ferons usage de logiciels de calculs pour certains points du

développement.

Considérons tout d'abord le schéma suivant :

(37.251)

Lorsque la distribution de charges et la distribution de courant se trouvent au

point , le point M reçoit l'onde électromagnétique émise par les charges et le courant

lorsqu'ils étaient au point c'est-à-dire à l'instant t' (à cause de la vitesse limite de la

propagation du champ dans l'espace). Le retard temporel est la durée de propagation depuis le

point vers le point M, soit :

(37.252)

Donc :

(37.253)

Soit :

(37.254)

Les potentiels au point de coordonnée vectorielle au temps t ont au vu des résultats obtenus

dans les deux chapitres précédents les relations suivantes pour expressions :

(37.255)

Remarque: Nous allons faire usage de ces deux relations du potentiel dans notre étude du champ

rayonné car leur forme mathématique similaire nous permettra, du moins nous l'espérons..., de

simplifier les développements.

Ces deux relations nous sont déjà partiellement connues, la première qui exprime le potentiel

électrique (retardé) a été démontrée dans le chapitre d'Électrostatique dans le cadre non

relativiste (donc nos calculs risquent de ne pas être corrects si nous tombons un résultat qui

dépend de la vitesse ! ... nous verrons bien).

Concernant la deuxième relation qui exprime le potentiel-vecteur retardé, nous avons vu plus

haut que était toujours juste au gradient d'une fonction additive près pour (de

par les propriétés des opérateurs vectoriels différentiels) tel que :

(37.256)

et que soit sous forme relativiste ou non, nous avions :

(37.257)

Rappelons aussi (cf. chapitre de Magnétostatique) que :

(37.258)

Il s'ensuit que si nous posons :

(37.259)

que nous retrouvons la loi de Biot-Savart puisque si et seulement si ne dépend pas de r alors

(trivial) :

(37.260)

Nous obtenons donc bien :

(37.261)

Bien que cette forme du potentiel vecteur ne donne que la loi de Biot-Savart sous forme non

relativiste, comme elle satisfait toujours :

(37.262)

elle est quand même valable dans le cadre relativiste car cette équation de Maxwell ne dépend

pas de la vitesse. De plus, si nos résultats dans l'étude du rayonnement synchrotron nous

donnent à la fin une expression indépendante de la vitesse, nous aurons encore une fois

confirmé cet état de fait.

POTENTIELS DE LIÉNARD-WIECHERT

Soit le cas où une particule de masse m et de charge q parcourt une trajectoire . Par rapport à

un point origine O, sa coordonnée vectorielle est , son vecteur vitesse sera noté:

(37.263)

et son accélération:

(37.264)

Si la charge ponctuelle q se situe à l'origine O, nous avons vu dans le chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral que la fonction de Dirac nous donne :

(37.265)

ainsi que si la charge ponctuelle q se situe à une abscisse , nous avions :

(37.266)

Ce qui vient d'être dit pour un espace à une dimension peut aussi être appliqué à un espace à

trois dimensions comme nous l'avions vu et nous écrivons alors :

(37.267)

Si nous choisissons pour unités pour la fonction de Dirac des , alors nous pouvons écrire :

(37.268)

où q est alors la charge totale au point .

Pour la distribution de la densité de courant, avons de même toujours en choisissant les mêmes

unités pour la fonction de Dirac :

(37.269)

Dès lors au point M, les potentiels au temps t ont pour expression:

(37.270)

C'est une formulation bien utile (un détour) qui va nous permettre de résoudre notre problème.

Pour cela, lorsque la charge se trouve au point au temps t', nous posons :

(37.271)

Nous allons utiliser un long artifice afin de résoudre l'intégrale du potentiel électrique (qui est

donc une intégrale multiple en coordonnées cartésiennes)!

Celui commence en multipliant l'intégrant de par:

(37.272)

cela ne modifie pas l'intégrale puisque:

(37.273)

et que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(37.274)

Nous disposons alors de l'expression suivante dans laquelle apparaît le temps t':

(37.275)

ce que nous avons le droit d'écrire car la deuxième intégrale ne dépend pas explicitement de t'.

Bon maintenant si nous essayons de résoudre cette intégral, nous allons y passer notre vie...

pour rien. Il va falloir être astucieux

Avant de rechercher une solution de cette intégrale, nous devons d'abord traiter le cas plus

général de l'intégrale suivante :

(37.

276)

Soit écrit de manière plus condensée:

(37.277)

qu'il est facile de rapprocher avec l'intégrale antéprécédente:

(37.278)

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