Notes sur le rayonnement synchrotron - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le rayonnement synchrotron - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le rayonnement synchrotron - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cas traité, la simplification.
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où nous nous sommes donc arrangés pour que ne dépendant respectivement

(explicitement) que dex, y, z et t.

Nous souhaitons maintenant faire le changement de variables :

(37.279)

Nous rappelons que dans des changements de variables dans les intégrales multiples (voir le

Jacobien dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), nous avons, en passant des

coordonnées cartésiennes aux coordonnées curvilignes les relations suivantes :

(37.280)

où pour rappel:

(37.281)

et où:

(37.282)

n'est pas une valeur absolue mais le déterminant d'une matrice!

Or, dans notre cas traité, rappelons que nous avons tous les qui sont nuls et donc:

(37.283)

et au cas où pendant les développements un des ne le serait plus pour des raisons encore

non déterminées, nous aurions:

(37.284)

L'intégrale multiple devient alors :

(37.285)

où le terme entre accolades est pris à par nécessité de la construction des

développements précédents préparant l'artifice mathématique!

Et rappelons encore une fois (!!) la propriété des fonctions de Dirac:

(37.286)

Nous avons alors immédiatement la simplification:

(37.287)

où:

(37.288)

est donc le Jacobien de la transformation de l'artifice....

Il est évident que par construction du Jacobien, nous avons:

(37.289)

Dès lors il vient:

(37.290)

Pour l'intégral I nous avons alors:

(37.291)

Calculons donc maintenant notre Jacobien...:

(37.292)

En revenant au cas traité, a donc pour composantes:

(37.293)

Ainsi, nous avons le calcul des éléments dé l'inverse du Jacobien:

(37.294)

Bon maintenant que nous avons les composantes de la matrice Jacobienne, il ne nous reste qu'à

calculer son déterminant. Donc soit nous utilisons la relation générale de calcul de déterminant

démontrée dans le chapitre d'Algèbre Linéaire, soit nous utilisons Maple... Alors histoire de

gagner un peu de temps faisons avec Maple:

>with(linalg):

>A:= matrix(4,4,[1,0,0,a,0,1,0,b,0,0,1,c,d,e,f,1]);

où:

(37.295)

avec:

et (37.296)

Continuos avec Maple:

>det (A);

Ce qui donne:

1 - cf - eb - da = 1 - ( fc + eb + da) (37.297)

L'inverse du Jacobien a alors pour expression :

(37.298)

où nous avons utilisé le produit scalaire dans la dernière relation afin de condenser

l'expression.

Soit:

(37.299)

L'intégrale multiple:

(37.300)

où pour rappel:

(37.301)

soit autrement écrit:

(37.302)

mais suite à notre changement de système de coordonnées nous avons pour rappel:

(37.303)

Or, rappelons encore une fois que :

(37.304)

Donc il faut prendre g en ! Il vient:

(37.305)

Ce qui permet d'écrire :

(37.306)

Il en est de même pour:

(37.307)

qui s'écrit alors:

(37.308)

Finalement la résolution de l'intégrale I s'écrit :

(37.309)

On accède ainsi enfin aux expressions des potentiels.

- Le potentiel scalaire s'écrit :

(37.310)

- Le potentiel vecteur s'écrit :

(37.311)

Compte tenu de l'intégrale qui est quasiment la même que pour le potentiel scalaire excepté le

terme , nous arrivons en faisant les mêmes développements que précédemment à

l'expression :

(37.312)

En résumé, les potentiels pris à l'instant (retard temporel de propagation):

(37.313)

ont pour expressions:

(37.314)

ces potentiels sont appelés "potentiels de Lienard-Wiechert" avec:

(37.315)

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