Notes sur le rayonnement thermique - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le rayonnement thermique - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique surle rayonnement thermique - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le rayonnement thermique émis par un corps porté à une certaine température, la loi de stefan-boltzmann.
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L'étude du corps noir est à la base de la célèbre théorie de la physique quantique ondulatoire, un des

piliers de la physique moderne. En effet, certains résultats expérimentaux ne pouvaient pas être

expliqués sans l'introduction d'une nouvelle constante universelle : la fameuse constante de Planck.

Définition: Un "corps noir" (ou "récepteur intégral") est défini comme un corps ayant un "coefficient

d'absorption énergétique" et un "coefficient d'émissivité" égaux à l'unité (cf. chapitre d'Optique

Géométrique)

Le premier principe de la thermodynamique établit une équivalence entre le travail et chaleur comme

modes de transfert d'énergie entre un système et son environnement (et en fait le bilan au niveau de

l'énergie interne). Nous nous intéressons ici à la chaleur, que nous pouvons définir comme "l'énergie

qu'un corps communique à un autre à cause de leur différence de température".

La chaleur se communique d'un endroit à un autre de trois manières différentes comme nous en

avons déjà fait mention plus haut :

1. Par conduction: c'est un transfert de chaleur dans ensemble de points matériels en contacts qui se

fait sans mouvements macroscopiques, sous l'influence d'un gradient de température. La conduction

est donc le résultat de collisions moléculaires. Nous l'observons principalement dans les solides:

dans les métaux, elle fait intervenir les électrons libres qui les rendent bons conducteurs de chaleur.

En revanche, dans les isolants, la conduction se fait mal. De là la forte correspondance entre les

propriétés thermiques et électriques des solides.

2. Par convection: la convection implique le transport de la chaleur par une partie d'un fluide qui se

mélange avec une autre particule. Elle prend sa source dans un transport macroscopique de matière

et ne concerne donc pas les solides.

3. Par rayonnement: la conduction et la convection supposent la présence de matière. Le

rayonnement, lui, permet un transfert d'énergie qui peut s'effectuer à travers le vide. Il s'agit ici de

rayonnement électromagnétique. Soulignons que le rayonnement n'est pas un mode de transfert de

chaleur mais d'énergie, celle-ci pouvant se transformer en chaleur au contact d'un corps.

Le rayonnement thermique émis par un corps porté à une certaine température résulte d'une

conversion de l'énergie interne du corps en rayonnement. Inversement, l'absorption est la

transformation de l'énergie incidente en énergie interne.

Lorsqu'une surface est soumise à un rayonnement absorbée, nous effectuons le bilan d'énergie selon

la loi de Kirchhoff vue en photométrie :

(33.213)

où rappelons-le quand même, est la fraction du rayonnement absorbée, est la partie réfléchie

(diffusée) et la partie transmise (qui traverse la surface). Ce bilan résulte du principe de la

conservation de l'énergie.

Nous allons maintenant nous pencher sur les mécanismes d'absorption et d'émission et établir un

lien entre chaleur et énergie rayonnante avant de nous intéresser directement au corps noir :

LOI DE STEFAN-BOLTZMANN

Nous avions défini lors de notre étude de la photométrie (cf. chapitre d'Optique Géométrique) le

concept d'émittance (énergie irradiée par un corps non ponctuel par unité de surface) pour

l'ensemble du spectre.

Ce que nous avions omis de préciser cependant, c'est que pour qu'un corps rayonne (outre le fait

qu'il puisse être lui-même éclairé par un autre corps) il faut qu'il soit chauffé (que l'on fournisse une

énergie d'excitation aux constituants au corps en question - sous-entendu aux électrons).

Donc nous devrions pouvoir établir une relation entre la température d'un corps et son émittance.

En 1879, le physicien autrichien Stefan a pu établir expérimentalement que l'émittance

totale du corps noir à une température T augmentait proportionnellement à la quatrième

puissance de la température tel que :

(33.214)

où M(T) est l'intégration sur toutes les longueurs d'onde (ou les fréquences... peu importe)

de :

(33.215)

avec donné par la loi de Planck que nous déterminerons plus tard.

Rappelons également que (ceci sera démontré lors de notre démonstration de la loi de Planck) :

(33.216)

est la "constante de Stefan".

Remarque: En d'autres termes, la loi de Stefan établit que la puissance totale rayonnée par unité

de surface dans le demi-espace libre du corps noir ("exitance énergétique" du corps noir).

En 1884, Boltzmann à démontré indirectement la loi de Stefan en se basant sur l'étude du corps noir

à l'équilibre thermique (où nous considérons que les bords de la paroi du corps noir définissent les

terminaisons des ondes électromagnétiques) à partir de la théorie de l'électromagnétisme et d'un

raisonnement thermodynamique.

Dans un premier temps, Boltzmann a déterminé qu'elle était la pression de radiation du

rayonnement dans une telle enceinte (ou dans un tel corps).

Voici les développements qui l'ont mené à déterminer la pression de radiation P(T) à la température

d'équilibre thermodynamique T pour la densité interne d'énergie correspondante :

Rappelons l'expression de la "relation d'Einstein" que nous avons démontrée lors de notre étude de

la relativité restreinte :

(33.217)

Considérons maintenant une enceinte de volume V dont les parois sont réfléchissantes pour les

photons (cas du corps noir). Nous étudions la variation de la quantité de mouvement avant et après

la collision sur une surface infiniment petite ds (ce qui permet de considérer les trajectoires avant et

après le choc comme rectilignes et symétriques par rapport à l'axe orienté OX perpendiculaire à la

surface du corps noir et coïncidant avec la surface ds).

Ainsi, nous avons avant collision pour la quantité de mouvement :

(33.218)

et après collision :

(33.219)

Si la collision est élastique (ce qui est confortant relativement au photon...) :

et (33.220)

Nous avons alors :

(33.221)

La variation de la quantité de mouvement est alors :

(33.222)

Comme :

(33.223)

nous avons alors :

(33.224)

En ne considérant que la norme de l'expression et qu'il s'agit d'un photon :

(33.225)

Remarque: Nous supposons qu'après son rebond, le photon conserve sa fréquence (ce qui nous

amène à supposer que le corps noir comporte des ondes stationnaires à l'équilibre

thermodynamique).

Jusqu'à présent, nous avons raisonné sur un photon mais l'enceinte contient un gaz de photons.

L'énergie interne volumique du rayonnement contient une densité volumique u de photons de

fréquence identique v égale à :

(33.226)

Remarque: Nous précisons les unités car nous avons remarqué que la suite posait parfois

quelques problèmes de compréhension.

Nous considérons que pendant un intervalle de temps dt, le nombre de photons pouvant

potentiellement frapper la surface ds sous un angle d'indice est contenu dans un cylindre de

génératrice cdt dont l'axe est incliné nécessairement d'un angle et ayant comme surface de

baseds. Le volume de ce cylindre est par la projection de la surface de base :

(33.227)

Le nombre de photons pouvant potentiellement heurter la paroi ds par unité de temps est :

(33.228)

Dans cette dernière expression, nous avons supposé que tous les photons de dV avaient une

quantité de mouvement dans la direction sous tendue par . En réalité, les photons arrivant

réellement surds sont contenus dans un angle solide entre deux cônes de demi-angle au

sommet et (pour des raisons de géométrie de l'expérience du corps noir qui était, sauf

erreur, sphérique et par ailleurs cette symétrique sphérique facilite les calculs...).

La relation entre et est comme nous l'avons vu en trigonométrie (cf. chapitre de

Trigonométrie) :

(33.229)

Sachant que dans le volume entier (rappel), l'angle solide vaut :

(33.230)

Le nombre dn compris dans l'angle solide élémentaire qui parvient sur la surface ds sous un

angle d'incidence compris entre et est alors :

(33.231)

Soit maintenant la définition de la pression P :

(33.232)

en substituant ce qu'il convient :

(33.233)

Ce qui donne après simplification :

(33.234)

La pression totale de radiation dans ce cas particulier étant donnée par :

(33.235)

Ce qui est équivalent à écrire (à l'équilibre thermodynamique pour une température donnée) :

(33.236)

L'énergie totale est la densité d'énergie multipliée par le volume considéré :

(33.237)

Supposons que ce volume puisse varier. Le travail de la pression de radiation lors d'une

dilatation dVdu volume est :

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