Notes sur le tenseur d'energie - impulsion, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le tenseur d'energie - impulsion, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le tenseur d'energie - impulsion. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le tenseur énergie-impulsion (T.E.I.), la matrice des flux de moments.
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Le tenseur énergie-impulsion (T.E.I.) est un outil mathématique utilisé (notamment) en relativité

générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

Prenons pour exemple le T.E.I. qui considère en relativité générale la matière comme pouvant

être approximée par un fluide parfait. Dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus

nous avons démontré :

(50.153)

où a les unités d'une force et ceux d'une surface. Ainsi :

(50.154)

sous forme variationnelle cela donne :

(50.155)

Calculons maintenant :

(50.156)

Remarque: Nous ne travaillons exprès pas avec des éléments différentiels afin de ne pas être

coincé plus tard. C'est un peu du bricolage à la physicienne mais bon cela marche (confirmé par

l'expérience).

En supposant que seuls le volume et le temps font que la force varie (ce qui suppose une

densité constant quand même et que le système est inertiel) nous avons alors :

(50.157)

Ce qui donne simplement (ch. chapitre de Calcul Tensoriel) le produit tensoriel des vitesses :

(50.158)

Si nous généralisons cette relation aux quadrivecteurs-vitesse de la relativité restreinte, nous

avons alors par définition le "tenseur d'énergie-impulsion" :

(50.159)

ou sous forme indicielle :

(50.160)

soit sous forme contravariante :

(50.161)

Cette relation est la justification pour laquelle la relativité générale est aussi indiquée comme

étant une théorie des milieux continus par certains spécialistes.

Maintenant démontrons que la dérivée :

(50.162)

Remarque: Ce qui comme nous l'avons déjà signalé dans le chapitre de Calcul Tensoriel

s'écrit dans les vieux livres.

D'abord, rappelons que (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(50.163)

et admettons que nous sommes dans les faibles vitesses telles que . Dès lors dans une

métrique de Minkowski :

(50.164)

Or, nous reconnaissons dans les parenthèses l'équation de continuité (conservation de la

masse) que nous avons démontré en thermodynamique et qui nous le savons est nulle! Ainsi :

(50.165)

Regardons par ailleurs ce que contient la composante du T.E.I. :

(50.166)

En termes d'unités, il s'agit d'une densité d'énergie (nous voyons directement que cette

grandeur ne peut être que positive).

Regardons maintenant les composantes de la diagonale :

(50.167)

où a les unités d'une densité de quantité de mouvement.

Regardons maintenant les composantes de la diagonale du tenseur lorsque et

pour (nous omettons donc la première ligne et la première colonne) :

(50.168)

Nous retrouvons donc les composantes du tenseur des contraintes d'un fluide parfait.

Donc finalement, le T.E.I. peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

(50.169)

Dans le cas où les vitesses sont faibles :

(50.170)

Nous retrouvons donc dans ce tenseur les interprétations suivantes des grandeurs physiques

(bien que rigoureusement toutes les composantes aient des unités qui peuvent être vues

comme densité d'énergie soit comme une pression).

- est la densité volumique d'énergie (elle est positive)

- sont les densités de moments

- sont les flux d'énergie

Remarque: La sous-matrice des composantes spatiales :

(50.171)

est la matrice dite des "matrice des flux de moments" (appellation tout à fait discutable...). En

mécanique des milieux continus (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus), nous avons

démontré que sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes aux efforts

tangentiels dus à la viscosité dynamique.

Montrons que la dérivée covariante du tenseur d'énergie-impulsion est nulle tel que :

(50.172)

Donc :

(50.173)

Commençons par développer le premier terme :

(50.174)

Or, nous avons :

(50.175)

d'où :

(50.176)

Nous retrouvons entre les crochets l'équation de continuité qui est nulle. Par contre le premier

terme entre parenthèses non nul comme nous l'avons vu lors de notre étude du quadrivecteur

accélération dans le chapitre de Relativité Restreinte :

(50.177)

Mais selon le principe d'équivalence faible (PEF), nous pouvons toujours nous placer dans un

référentiel tel que localement l'accélération soit nulle tel que :

(50.178)

et il vient alors :

(50.179)

Donc nous avons maintenant :

(50.180)

Regardons ce que donne ce dernier terme mais en rappelant d'abord que dans le chapitre de

Relativité Restreinte nous avions démontré que la quadriaccélération s'exprimait selon :

(50.181)

Soit (nous ne prenons que les deux premières composantes comme exemples) :

(50.182)

Nous allons maintenant au fait montrer que :

(50.183)

Commençons par montrer que :

(50.184)

Or :

et (50.185)

d'où :

(50.186)

Maintenant montrons que (les autres composantes se vérifiant alors

automatiquement) :

(50.187)

et donc nous avons bien :

(50.188)

mais selon le PEF alors :

(50.189)

et nous avons donc bien finalement :

(50.190)

Qui est l'expression de la conservation de l'énergie en relativité générale!

En abaissant les indices il vient :

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