Notes sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion, la mécanique quantique, le principe d'objectivité, les postulats: l'état quantique...
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PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

Fille de l'ancienne théorie des quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), la

physique quantique ondulatoire appelée aussi "mécanique quantique" constitue le pilier d'un

ensemble de théories physiques que nous regroupons sous l'appellation générale de "physique

quantique".

Cette dénomination s'oppose à celle de la physique classique, celle-ci échouant dans sa

description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines

propriétés du rayonnement électromagnétique (voir typiquement les expériences des fentes de

Young dans le chapitre d'Optique Ondulatoire) ou des semi-conducteurs (voir typiquement

l'Effet Hall dans le chapitre d'Électrocinétique).

Remarque: L'extension relativiste pertinente de la mécanique quantique est la physique

quantique relativiste (voir. chapitre du même nom).

La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par

De Broglie et Bohr consistant à considérer les particules de matière non pas seulement comme

des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue

spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Ces deux aspects onde/corpuscule

des particules ("quanton"), mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si

nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît et réciproquement.

A ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la mécanique

quantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix : la théorie repose sur

un formalisme mathématique assez abstrait, qui rend son abord assez difficile. Ce qui est plus

difficile encore c'est qu'il est très difficile, voir impossible, de présenter ce domaine de la

physique de manière pédagogique linéaire... Ceci à pour conséquence que bon nombre

d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne serait être exclu), qu'ils s'adressent à des

spécialistes ou non, voient leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques

d'interprétations, de relecture et de compléments.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" du à Heisenberg

qui est à la base de la "mécanique quantique standard" : existe ce qui est expérimentalement

observable.

Ce principe est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est il

présent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable il faut une expérience qui le trouve à

plusieurs endroits, ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la

question! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant que nous l'observions n'est pas recevable en

physique: principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons donc aussi renoncer à la

notion de trajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradiction du

freinage par rayonnement (cf. chapitre d'Électrodynamique) : car il n'y a plus de mouvement au

sens classique. Les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens à cette échelle!

Une minorité de physiciens nient ce principe et ont fondé une mécanique quantique non

standard avec des grandeurs classiques ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les

revues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la mécanique quantique standard (celle

de la majorité des physiciens). Cette version non standard donne les mêmes prévisions pour

tout expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la mécanique quantique est une théorie inachevée dans laquelle beaucoup de

points sont assez obscurs.

POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et non

pas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de la

mécanique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposer

nos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbre

élémentaire et probabilités) fondées sur les postulats de la physique quantique corpusculaire et

du principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière. Même si

rigoureusement la démarche est fausse au moins elle est pédagogique!

2. Ces postulats sont indigestes, voir incompréhensibles si la mécanique quantique (son

formalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombre

d'exercices ou d''un usage régulier.

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (à

notre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient : le principe de

complémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard), la loi de Planck (déjà vue au

chapitre précédant) et la mesure d'un observable.

Cependant..., dans l'objectif de respecter la tradition, et surtout de respecter la méthodologie

scientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de ce chapitre

mais sans trop insister dessus. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de

lire ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir

régulièrement pendant la lecture du chapitre. Dès lors, tout deviendra probablement plus

limpide et la lumière sera...

Remarques: Nous verrons des cas pratiques, dans ce chapitre même, de la théorie quantique pour

un usage ultérieur en physique quantique des champs et physique nucléaire. Nous conseillons

cependant au lecteur de lire en même temps les chapitres d'Informatique Quantique, de Chimie

Quantique et de Chimie Moléculaire qui semblerait-il aident plus que grandement la

compréhension de certains passages un peu trop théoriques présentés ici.

1ER POSTULAT : ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf.

chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrite par une fonction

notée en toute généralité:

(42.1)

dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré (multiplication de la fonction

par son conjugué) donne la densité de probabilité de trouver instantanément le système dans la

configuration au temps t (si le système est dépendant du temps):

(42.2)

ce que nous justifierons plus loin!

Remarques:

R1. Le fait que nous parlions "d'onde" au lieu de "particule" vient du postulat génial et ma foi

assez logique de De Broglie que nous appelons "postulat de complémentarité" (que nous

détaillerons plus loin aussi) et qui associe à tout particule de matière, une onde et

réciproquement.

R2. Le fait que nous traitions des probabilités et que celle-ci soit proportionnelle au carré du

module de la fonction d'onde vient des principes d'incertitudes de Heisenberg que nous

démontrerons plus loin et principalement de l'expérience des fentes de Young avec des électrons

(cf. chapitre d'Optique Ondulatoire).

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nous

avons la condition de normalisation que l'intégrale sur tout l'espace vaut :

(42.3)

à un facteur de phase près. En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons

traditionellement la "condition de normalisation de De Broglie".

Remarques:

R1. Notons que même normée, est déterminée à un facteur de phase près. De plus, il est

préférable que soit différentiable, car des opérateurs différentiels agissent sur elle pour

obtenir des prévisions théoriques sur des propriétés mesurables, et finie pour qu'elle soit

normalisable...

R2. Lorsque l'intégrale donnée plus haut permet d'obtenir une quantité finie, nous disons qu'elle

est de "carré sommable". Dans le cas contraire, il faut la normaliser pour que le modèle théorique

corresponde à la réalité! Nous y reviendrons aussi plus en détails (avec démonstrations!).

Rapellons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nous

pouvons l'écrire (selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombres lors de notre

étude des nombres complexes) , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf.

chapitre de Mécanique Ondulatoire). Nous démontrerons aussi plus loin en toute rigueur

pourquoi celui-ci n'a aucune influence.

Nous pouvons formuler ce postulat de manière un peu plus formelle car comme nous le verrons

dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut dès

lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes. Cela donne dès lors dans le langage du

formalisme bra-ket de Dirac (voir plus loin les détails) la définition suivante:

Le vecteur d'état "ket" représenté par appartenant à l'espace vectoriel (espace de

Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes les

propriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produit

scalaire du vecteur par le vecteur dual (conjugué complexe) "bra" qui doit satisfaire le

produit scalaire fonctionnel :

(42.4)

Remarque: La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter (du moins c'est

censé...) l'écriture des équations de la physique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect

vectoriel possible de l'objet représentant un état quantique. Ce qui est donc spécifique à la

physique quantique est que les vecteurs ne sont pas dessinés avec des flèches mais avec des ket

et des bras (cela vaut mieux qu'un pied....), mais cela n'est qu'une question de notation et

n'apporte aucune nouveauté mathématique. Par ailleurs, il ne faut pas imaginer que nous

écrivions explicitement dans les calculs ces vecteurs sous forme de colonnes (pensez aux

nombres complexes.... il est rare que nous les écrivions sous forme vectorielle)!

Pour résumer ces derniers paragraphes, les deux relations:

(42.5)

et:

(42.6)

sont donc équivalentes!

2ÈME POSTULAT : ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT QUANTIQUE

Si le système n'est par perturbé, l'évolution (supposée non relativiste!) de son état est

gouvernée par l'équation de Schrödinger d'évolution (dépendante du temps donc) :

(42.7)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" ou "hamiltonien" H du

système, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de

l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, nous

obtenons sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Remarque: Nous démontrerons plus loin cette relation (ce ne sera pas trivial malheureusement

mais c'est possible et donc cela élimine le besoin de la définir en tant que postulat).

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur l'hamiltonien (énergie totale) du système que

nous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple :

(42.8)

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système

conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) un ensemble

de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous

démontrerons la provenance) :

(42.9)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vu en

algèbre linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable .

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires"

(puisque indépendants du temps...), dont nous démontrerons plus tard les propriétés et

l'origine du nom, et qui forment une base orthogonale.

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