Notes sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 2° partie., Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 2° partie., Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le thème de la physique quantique ondulatoire - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: suite des postulats: l'observables et opérateurs, la mesure d'une propriété, la moyenne d'...
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L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation de Schrödinger

indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens bien évidemment que

si le système est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimie

quantique et la chimie moléculaire (sujets que nous traitons dans la section de Chimie du site

en détails). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions d'onde décrivant les états

stationnaires, et surtout l'état de la plus basse énergie, "l'état fondamental", des atomes et des

molécules. Les transitions observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires

(nous le démontrerons plus loin), leur détermination est donc un prérequis pour l'étude de la

spectroscopie. Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation d'évolution de

Schrödinger, qui est (dans un premier temps...) l'équation fondamentale de la physique

quantique ondulatoire non relativiste : elle joue le même rôle que l'équation de Newton en

mécanique classique, soit celui d'une équation de mouvement (voir la démonstration du

théorème d'Ehrenfest plus bas).

Remarque: Au fait, nous verrons (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) que l'équation

d'évolution de Schrödinger n'est qu'un cas particulier de ce que nous appelons "l'équation de

Klein-Gordon libre" qui elle-même est un cas particulier de l'équation de "Klein-Gordon

généralisée", elle-même étant un modèle limité par rapport à "l'équation de Dirac linéarisée" ...

bref on a pas fini...

3ÈME POSTULAT : OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

A chaque propriété physique mesurable (observable) d'un système notée par exemple:

(42.10)

où sont les coordonnées généralisées et les moments généralisés conformément aux

notation adoptées dans le chapitre de Mécanique Analytique, correspond un opérateur linéaire

(donc cela peut être aussi un matrice!), apppelé "opérateur hermitique", noté fréquemment avec

un circonflexe tel que pour l'exemple choisi celui-sera noté:

(42.11)

qui intervient toujours dans le calcul théorique d'un propriété physiquement mesurable.

Pour faire simple..., un opérateur hermitique en physique quantique est une expression

mathématique telle que si on prend son conjugué complexe (ou sa matrice adjointe si

l'expression mathématique est une matrice) alors le calcul théorique de la valeur mesurable est

toujours donné par la même expression.

Exemples:

Voici les plus connus dont nous démontrerons l'origine dans le présent chapitre et celui de

Physique Quantique Relativiste:

E1. Coordonnées :

(42.12)

dont nous verrons un exemple pratique avec le théorème d'Ehrenfest dans le présent chapitre.

E2. Quantité de mouvement :

(42.13)

dont nous verrons aussi plusieurs exemples pratiques (dont avec le théorème d'Ehrenfest).

E3. Moment cinétique :

(42.14)

E4. Les matrices de Pauli:

(42.15)

Remarques:

R1. Cela peut sembler tomber du ciel..., mais nous verrons que cela vient tout seul lorsque nous

ferons les développements plus loin de quelques exemples bien concrets ou lors de la lecture du

chapitre d'Informatique Quantique.

R2. Dans le cadre de ce site, nous notons indifféremment, les opérateurs et les observables sans

circonflexes (c'est au lecteur de savoir sur quoi nous travaillons sans se mélanger les pinceaux...).

Nous verrons par ailleurs que certains opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent à

ce que nous appelons des "relations d'anti-commutation" (qui sont à l'origine des principes

d'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

(42.16)

Nous verrons par ailleurs trivialement à l'aide d'un cas pratique que deux observables A, B dont

les opérateurs respectifs commutent tel que :

(42.17)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont

simultanément mesurables avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude...

de Heisenberg). Les deux grandeurs A, B peuvent alors être appelées "observables compatibles"

(O.C).

L'ensemble des O.C. attachées à un système physique constituent un "ensemble complet

d'observables compatibles" (ECOC).

4ÈME POSTULAT : MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

La conséquence du postulat précédent est que la mesure de donne donc toujours une valeur

propre de l'opérateur hermitique associé, . En d'autres termes, les seules valeurs observables

de la propriété sont les valeurs propres de l'opérateur !

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: les

valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les

vecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soit

représentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses

valeurs propres (notées par exemple: ) sont réelles

5ÈME POSTULAT : MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (nous le démontrerons par

l'exemple lors de l'étude du théorème d'Ehrenfest). Son énoncé est le suivant :

La valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique , quand le système se trouve dans

l'état décrit par la fonction est donnée par :

(42.18)

Une expression équivalente et que je trouve compliquée est la suivante : la probabilité de

trouver la valeur propre (de l'opérateur hermitique ), lors d'une mesure de la

propriété effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans l'état décrit par la

fonction , est donnée par le carré du module de la projection de la fonction sur la

fonction propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

(42.19)

où la "projection" (ou "représentative") est définie par :

(42.20)

l'indice k étant ici pour indiquer qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs et

vecteurs propres.

Remarque: Nous reviendrons sur ce formalisme et ces relations plus tard. Cependant plusieurse

xemples pratiques sont proposés dans le chapitre d'Informatique Quantique.

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